教学内容 隐函数的导数 定义:由方程所确定的函数y=y(x)称为隐函数 y=f(x)形式称为显函数 F(x,y)=0→y=f(x)隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 例1求由方程xy-e2+e"=0所确定的隐函数y的导数,|x 解:方程两边对x求导, d dy 解得=-y,由原方程知x=0y=0 x+e dy 例2设曲线C的方程为x+y=3x求过C上点2明线方程 并证明曲线C在该点的法线通过原点 解:方程两边对x求导,3x2+3y2y=3y+3x y--x 23 所求切线方程为y2-)即x+y-3=0 法线方程为y22 即y=x,显然通过原点 例3设x4-xy+y2=1,求y”在点(0,1)处的值 解:方程两边对x求导得 4x'-y-xy+4y'y=02 教 学 内 容 一、隐函数的导数 定义: 由方程所确定的函数 y = y(x)称为隐函数. y = f (x) 形式称为显函数. F(x, y) = 0  y = f (x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 例 1 0 , . − + = x=0 x y dx dy dx dy 求由方程 x y e e 所确定的隐函数y的导数 解： 方程两边对x求导, + − + = 0 dx dy e e dx dy y x x y 解得 , y x x e e y dx dy + − = 由原方程知x = 0, y = 0, 0 0 0 = = = + −  = y y x x x x e e y dx dy =1 例 2： . ) , 2 3 , 2 3 3 , ( 3 3 并证明曲线 在该点的法线通过原点 设曲线 的方程为 求过 上点 的切线方程 C C x + y = x y C 解： 方程两边对x求导, 3x +3y y  = 3y +3xy  2 2 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( y x y x y − −   = = −1. 所求切线方程为 ) 2 3 ( 2 3 y − = − x − 即 x + y −3 = 0. 2 3 2 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x, 显然通过原点. 例 3 1, (0,1) . 设 x 4 − xy+ y 4 = 求y 在点 处的值 解： 方程两边对x求导得 4 4 0 (1) 3 3 x − y − xy + y y  =