8.设。f(x)与f(x收敛求证 9.设∫(x)单调下降趋于零,∫(x)在[O,+∞)连续求证 f'(x)sin xdx 收敛 0.设f(x)和g(x)是定义在[a,+∞)上的函数,且在任何有限区间[a,上可积证明: 若∫f(x)与”g(x收敛则”[(x)+g(x与「(x)g(x)也收敛 1l.证明:(1)设f(x)在[0,+∞)连续,且limf(x)=k,则 f(ax-f(bx) dx=[f(0)-k]ln-(b>a>0) ()若上述条件mf()=k改为厂 ∞f(x) dx存在(a>0),则 f(ax)-f(bx) f(0)ln-(b>a>0) §2瑕积分 1.下列积分是否收敛?若收敛求其值 (2) In xd 2.讨论下列积分的收敛性 I sin x 2(1 dx8．设 ( ) a f x dx +  与 '( ) a f x dx +  收敛,求证: lim ( ) 0 x f x →+ = . 9．设 f x( ) 单调下降趋于零, f x'( ) 在 [0, ) + 连续.求证: 2 0 f x xdx '( )sin +  收敛. 10．设 f x( ) 和 g x( ) 是定义在 [ , ) a + 上的函数,且在任何有限区间 [ , ] a A 上可积,证明: 若 2 ( ) a f x dx +  与 2 ( ) a g x dx +  收敛,则 2 [ ( ) ( )] a f x g x dx + +  与 ( ) ( ) a f x g x dx +  也收敛. 11．证明: (1) 设 f x( ) 在 [0, ) + 连续,且 lim ( ) x f x k →+ = ,则 0 ( ) ( ) [ (0) ]ln f ax f bx b dx f k x a + − = −  ( 0). b a   (2) 若上述条件 lim ( ) x f x k →+ = 改为 ( ) a f x dx x +  存在 ( 0) a  ,则 0 ( ) ( ) (0)ln f ax f bx b dx f x a + − =  ( 0). b a   §2 瑕积分 1．下列积分是否收敛?若收敛求其值. (1) 1 2 0 cot ; xdx  (2) 1 0 ln : xdx  (3) 0 ; a dx a x −  (4) 1 0 . 1 x dx − x  2．讨论下列积分的收敛性: (1) 1 3 0 2 sin ; x dx x  (2) 1 0 3 2 ; (1 ) dx x x −  (3) 1 2 0 ln ; 1 x dx − x 