2348 中南大学学报（自然科学板） 第46卷 30 (a)组1：)组2：（组3：d组4 1一主面角析解：2一界面解析解 图7解析解计算塔果与数值计算结果对比 Fig.7 Comparison between analytical soution and numerical solution 当R的取值范围在冻土帷幕以内时，即R<R, 尔金问题和线性温度场的问题 完成了单圈管冻结内 部未冻实的温度场解析式。并且此公式也可以针对冻 结圈内部完全冻实的情况。 3)在工程合理参数范围下，冻结中后期，冻土帷 所以，在这种情况下，式(34)将可以近似代替式 边界之波浪形极不明品可视作环形。 (35),出现的误差可以忽略 因此本文求得的温度场解析式既适合干冻结圈内 参考文献： 未冻实的情况，也适合于冻结圈内完全冻实的情况。 [1]Trupak NG Ground fr in shaft sinking[MI.Moscow:Coal Technology Press 1954-20-65 4结论 2]Tobe N.Akimoto Temperature distribution fomua fro soil and its applicationll Refrigeration.1979.54:3-11 31 Bakholdin B V.Selection of optimized mode of ground freezing 1)应用调和方程的边界条件可分离性，将经典的 单排巴霍尔金问题分解为无数个单管冻结问题，以此 for construction purpose[M].Moscow:State Construction Press 1963:21-27. 重现了巴霍尔金解。 4]Sanger FJ.Ground freezng in coructio Joumal of the 2)通过保角变换将冻结圈内未冻实的单圈管冻 Soil Mechanics and Foundations Division,Proceedings of ASCE 结问题转化为特殊的单排冻结问愿，再次以调和方君 1968.94SM1131-158 边界条件可分离性，将问题分解为已有解的单排巴歪 [5]HU Xiangdong Average temperature model of double-row-pipe 994-2016 China Academie Joumal Eleetronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne2348 中南大学学报(自然科学版) 第 46 卷 (a) 组 1；(b) 组 2；(c) 组 3；(d) 组 4 1—主面角析解；2—界面解析解 图 7 解析解计算结果与数值计算结果对比 Fig. 7 Comparison between analytical solution and numerical solution 当 R 的取值范围在冻土帷幕以内时，即 R＜R3， 则 2 3 3 2 2 1 R R RR R ≥  ， 2 3 2 n R RR         ＞＞ 2cos n 。 所以，在这种情况下，式(34)将可以近似代替式 (35)，出现的误差可以忽略。 因此本文求得的温度场解析式既适合于冻结圈内 未冻实的情况，也适合于冻结圈内完全冻实的情况。 4 结论 1) 应用调和方程的边界条件可分离性，将经典的 单排巴霍尔金问题分解为无数个单管冻结问题，以此 重现了巴霍尔金解。 2) 通过保角变换将冻结圈内未冻实的单圈管冻 结问题转化为特殊的单排冻结问题，再次以调和方程 边界条件可分离性，将问题分解为已有解的单排巴霍 尔金问题和线性温度场的问题，完成了单圈管冻结内 部未冻实的温度场解析式。并且此公式也可以针对冻 结圈内部完全冻实的情况。 3) 在工程合理参数范围下，冻结中后期，冻土帷 幕边界之波浪形极不明显，可视作环形。 参考文献： [1] Trupak N G. Ground freezing in shaft sinking[M]. Moscow: Coal Technology Press, 1954: 20−65. [2] Tobe N, Akimoto O. Temperature distribution formula in frozen soil and its application[J]. Refrigeration, 1979, 54: 3−11. [3] Bakholdin B V. Selection of optimized mode of ground freezing for construction purpose[M]. Moscow: State Construction Press, 1963: 21−27. [4] Sanger F J. Ground freezing in construction[J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, Proceedings of ASCE, 1968, 94(SM1): 131−158. [5] HU Xiangdong. Average temperature model of double-row-pipe