pg.定义nxm矩阵B如下:BCP,其中c/E,0mn 则有 )x(-r) ABA=(P DQ )(QCP)(P DQ)=P DCDQ 0 EPO,mrkxr Om-rix(n-n Om-rxrn-rxtm-n Oqm-rkr 0 (n-r rx(n-r E E,0 m-r)×(n-r) E 0 m-r)x(n-r) x:设A(44 0A,其中A是sxs矩阵,A是sxt矩阵,A是txt矩阵.证明:如果A, A都是可逆的,则A也是可逆的,进一步,求A的逆矩阵 如果A1,A都是可逆的,令 Ar B, 440,其中A”,A分别是A,A的逆阵,B是 s×t矩阵.令AB=,即有 AB2)(E,AB2+A2)(E,0 0A八(04 从而AB+A=0,由此得B=A7A.说明A也是可逆的,且A2/4 A1A24 0P -1DQ -1．定义 n×m 矩阵 B 如下：B=QCP，其中 C=              ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 n r r n r m r Er r m r ．则有 ABA=(P -1DQ -1)(QCP)(P -1DQ -1)= P -1DCDQ -1 =P -1              ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 m r r m r n r Er r n r              ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 n r r n r m r Er r m r              ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 m r r m r n r Er r n r Q -1 = P -1              ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 m r r m r n r Er r n r Q -1=A 3 *.设 A=       4 1 2 0 A A A ，其中 A1是 s×s 矩阵，A2是 s×t 矩阵，A4是 t×t 矩阵．证明：如果 A1， A4都是可逆的，则 A 也是可逆的，进一步，求 A 的逆矩阵． 证 如果 A1，A4都是可逆的，令 B=         1 4 2 1 1 0 A A B ，其中 A1 -1，A4 -1分别是 A1，A4的逆阵，B2是 s×t 矩阵．令 AB=E，即有       4 1 2 0 A A A         1 4 2 1 1 0 A A B =         t s E E A B A A 0 1 1 2 2 4 =       t s E E 0 0 ， 从而 A1B2+ A2A4 -1=0，由此得 B2=-A1 -1A2A4 -1．说明 A 也是可逆的，且 A -1=            1 4 1 2 4 1 1 1 1 0 A A A A A