P, (1, k)B= =BP(1,k) b bn 比较对应元素,可知b1=b ③如果矩阵A与所有的n×n矩阵都可交换,在①中分别令h=1,2,…,n,可知A除对角 线上元素以外其它元素都是零,即A可写成diag(b1,b2n…,b);在②可令1=1,分别令 k=2,…,n,可知A的对角线上元素都相等 习题2.4 1.设A= 其中A1是s×s矩阵,A2是s×t矩阵,A是t×t矩阵.求A 解A44)(44)(4244+14 A 4 0 A A 4 A(44)f44+4414+4+4 04八(0 A 0 2.①设G 是m×n矩阵,证明:存在矩阵B,使得GBG ②设A是m×n矩阵,证明:存在矩阵B,使得ABA=A 证①构造nXm矩阵B为B/E,0.m),则 E 0 E,0, GBG= x(n-r) rx(m-r) E rx(n-r) E x(n-r) (m-r)xi (m-r)x(n-r) ②设矩阵A的秩为r,则可经过有限次初等变换使A变为 的形式 即存在可逆的n×n矩阵P和可逆的mXm矩阵Q使PE 0 m-r)xrPn(l,k)B=       n l k b b b b    0 0 1 =BPn(l,k)=       n k l b b b b    0 0 1 比较对应元素，可知 bl=bk． ③如果矩阵 A 与所有的 n×n 矩阵都可交换，在①中分别令 h=1,2,…,n，可知 A 除对角 线上元素以外其它元素都是零，即 A 可写成 diag(b1, b2,…, bn)；在②可令 l=1，分别令 k=2,…,n，可知 A 的对角线上元素都相等．习题 2.4 1.设 A=       4 1 2 0 A A A ，其中 A1是 s×s 矩阵，A2是 s×t 矩阵，A4是 t×t 矩阵．求 A 3． 解 A 2=       4 1 2 0 A A A       4 1 2 0 A A A =        2 4 1 2 2 4 2 1 0 A A A A A A A 3=       4 1 2 0 A A A        2 4 1 2 2 4 2 1 0 A A A A A A =         3 4 2 2 1 2 4 2 4 2 1 3 1 0 A A A A A A A A A 2.①设 G=       0 0 0 Er 是 m×n 矩阵，证明：存在矩阵 B，使得 GBG=G． ②设 A 是 m×n 矩阵，证明：存在矩阵 B，使得 ABA=A． 证 ①构造 n×m 矩阵 B 为 B=              ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 n r r n r m r Er r m r ，则 GBG=              ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 m r r m r n r Er r n r              ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 n r r n r m r Er r m r              ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 m r r m r n r Er r n r =              ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 m r r m r n r Er r n r =G ②设矩阵A的秩为r，则可经过有限次初等变换使A变为              ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 m r r m r n r Er r n r 的形式， 即存在可逆的 n×n 矩阵 P 和可逆的 m×m 矩阵 Q 使 PAQ=              ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 m r r m r n r Er r n r =D，即 A=