100 所以x=--101 5.①证明:B与A行等价台存在可逆矩阵P,使B=PA. ②证明:B与A等价存在可逆矩阵P与Q,使B=PAQ 证若B与A行等价,即A可经有限次初等行变换得到B,而对矩阵A每做一次初等行 变换,相当于对它左乘一个初等方阵,假设对A依次左乘初等方阵P,P2,…,P,使 P…P2PA=B 令P=P…P2P1,则P是可逆矩阵,且B=PA 反之,若存在可逆矩阵P,使B=PA,因为可逆矩阵P可以写成一系列初等方阵P1,P2,…,P 的乘积,即P=PP2…P,从而有B=PP2…PA,说明A可经有限次初等行变换得到B,即B与A 行等价 ②若B与A等价,即对A经过有限次初等变换得到B.而对矩阵A每做一次初等行变 换,相当于对它左乘一个初等方阵:对矩阵A每做一次初等列变换,相当于对它右乘一个初 等方阵.假设对A左乘的初等方阵依次为P,P2,…,P,对A右乘的初等方阵依次为Q1, Q,使 P∴…P2P1AQ2Q2…Q=B 令P=P…PP1,Q=Q2Q2…Q,则P,Q都是可逆矩阵,且B=PAQ 反之,若存在可逆矩阵P和Q,使B=PAQ,因为可逆矩阵P和Q均可以写成一系列初等 方阵的乘积,设P=PP2…P,Q=QQ2…Q,这里P,Q都是初等方阵,从而有B=PP2…PAQQ2…Q, 说明A可经有限次初等行变换和初等列变换得到B,即B与A等价 6:设A是s×n矩阵,B是s×m矩阵,B的第i列构成的s×1矩阵是β;(j=1,2,…,m).证 明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是:AX=B;(j=1,2,…,m)都有解 证先证必要性.如果矩阵方程AX=B有解,设X是它的解,则X是n×m矩阵,记X的 第j列为X',根据矩阵先相乘的规则知,A与X相乘的结果是β,即X是AX=β的解 (j=1,2,…,m) 再证充分性.若AX=B;(j=1,2,…,m)都有解,设x是AX=B的解,这里X是n×1 矩阵,令X=(X,X2,…,X),则X是n×m矩阵,且X是矩阵方程AX=B的解 7.设A=(a1)是n×n矩阵 ①证明:如果P(h(2)A=AP(h(2),则a=0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n;并且 =0,i=1,2,…,h-1,h+1 ②设B=diag(b1,b2,…,b)是一个对角矩阵,设1≠k.证明:如果Pn(1,k)B=BP(1 b =b ③证明:如果矩阵A与所有的n×n矩阵都可交换,则A是一个数量矩阵 证①如果Pn(h(2)A=APn(h(2),则A是n×n矩阵,等式左边的P(h(2)A表示将矩阵 A的第h行每个元素乘以2得到的矩阵;等式右端的APn(h(2)表示将A的第h列每个元素 乘以2得到的矩阵,从等式可知2a1=a31(j=1,2,…,h-1,h+1,…,n),a1=2a1 (i=1,2,…,h-1,ht1,…,n),从而得a=0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n:并且 ai=0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ②如果P(1,k)B=BP(1,k),则B是n×n矩阵,等式左边的Pn(1,k)B表示将矩阵B的第 1行和第k行交换位置:等式右端的BP。(1,k)表示将矩阵B的第1列和第k列交换位置.由 于B=diag(b,b2,…,b)是一个对角矩阵,且1≠k,不妨设1<k,则有所以 X=         1 1 1 1 0 1 1 0 0 5.①证明：B 与 A 行等价存在可逆矩阵 P，使 B=PA． ②证明：B 与 A 等价存在可逆矩阵 P 与 Q，使 B=PAQ． 证 若 B 与 A 行等价，即 A 可经有限次初等行变换得到 B，而对矩阵 A 每做一次初等行 变换，相当于对它左乘一个初等方阵，假设对 A 依次左乘初等方阵 P1，P2，…，PK，使 Pk…P2P1A=B 令 P=Pk…P2P1，则 P 是可逆矩阵，且 B=PA． 反之，若存在可逆矩阵 P，使 B=PA，因为可逆矩阵 P 可以写成一系列初等方阵 P1,P2, …,Pk 的乘积，即 P=P1P2…Pk，从而有 B=P1P2…PkA，说明 A 可经有限次初等行变换得到 B，即 B 与 A 行等价． ② 若 B 与 A 等价，即对 A 经过有限次初等变换得到 B．而对矩阵 A 每做一次初等行变 换，相当于对它左乘一个初等方阵；对矩阵 A 每做一次初等列变换，相当于对它右乘一个初 等方阵．假设对 A 左乘的初等方阵依次为 P1，P2，…，Ps，对 A 右乘的初等方阵依次为 Q1， Q2，…，Qt，使 Ps…P2P1AQ1Q2…Qt=B 令 P=Ps…P2P1，Q=Q1Q2…Qt，则 P，Q 都是可逆矩阵，且 B=PAQ． 反之，若存在可逆矩阵 P 和 Q，使 B=PAQ，因为可逆矩阵 P 和 Q 均可以写成一系列初等 方阵的乘积，设 P=P1P2 …Ps，Q=Q1Q2…Qt，这里 Pi,Qi都是初等方阵，从而有 B=P1P2…PkA Q1Q2…Qt， 说明 A 可经有限次初等行变换和初等列变换得到 B，即 B 与 A 等价． 6 *.设 A 是 s×n 矩阵，B 是 s×m 矩阵，B 的第 i 列构成的 s×1 矩阵是βj（j=1,2,…,m）．证 明：矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是：AX=βj（j=1,2,…,m）都有解． 证 先证必要性．如果矩阵方程 AX=B 有解，设 X *是它的解，则 X *是 n×m 矩阵，记 X *的 第 j 列为 X * j，根据矩阵先相乘的规则知，A 与 X * j相乘的结果是βj，即 X * j是 AX=βj的解 （j=1,2,…,m）． 再证充分性．若 AX=βj（j=1,2,…,m）都有解，设 X * j是 AX=βj的解，这里 X * j是 n×1 矩阵，令 X *=(X * 1, X * 2,…,X * m)，则 X *是 n×m 矩阵，且 X *是矩阵方程 AX=B 的解． 7 *.设 A=(aij)是 n×n 矩阵． ① 证 明 ： 如 果 Pn(h(2))A=APn(h(2)), 则 ahj=0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ； 并 且 aih=0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n． ②设 B=diag(b1, b2,…, bn)是一个对角矩阵，设 l≠k．证明：如果 Pn(l,k)B=BPn(l,k)， bl=bk． ③证明：如果矩阵 A 与所有的 n×n 矩阵都可交换，则 A 是一个数量矩阵． 证 ①如果 Pn(h(2))A=APn(h(2)),则 A 是 n×n 矩阵，等式左边的 Pn(h(2))A 表示将矩阵 A 的第 h 行每个元素乘以 2 得到的矩阵；等式右端的 APn(h(2))表示将 A 的第 h 列每个元素 乘 以 2 得 到 的 矩 阵 ． 从 等 式 可 知 2ahj= ahj （ j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ）， aih=2aih （ i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ） ， 从 而 得 ahj=0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ； 并 且 aih=0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n． ②如果 Pn(l,k)B=BPn(l,k),则 B 是 n×n 矩阵，等式左边的 Pn(l,k)B 表示将矩阵 B 的第 l 行和第 k 行交换位置；等式右端的 BPn(l,k) 表示将矩阵 B 的第 l 列和第 k 列交换位置．由 于 B=diag(b1, b2,…, bn)是一个对角矩阵，且 l≠k，不妨设 l<k，则有