高等数学教案 第七章微分方程 第八节常系数非齐次线性微分方程 教学内容：二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 教学目标：熟练掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 教学重点：二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 教学难点：不同情形下的特解的形式 教学方法：讲练结合 作业：P3471(1),(⑤)，(6)，(10)：2(2)，(4④)：3：6 教学过程： 一、相关定义： 定义： y”+py'+qy=f(x)(P,9为常数，f(x)≠0为已知函数)的方程称为二阶常 系数非齐次线性微分方程 当f(x)=0时，称方程y”+py'+qy=0为方程 y”+py'+qy=f(x)对应的齐次方程。 前面我们学过二阶非齐次线性微分方程解的结构定理，对应地它的二阶常系数非齐次 线性微分方程解的结构也有这样的定理： 定理2（二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构定理）如果函数V。是二阶非齐次线 性微分方程y”+py'+qy=f(x)的一个特解，函数y。是其对应的齐次线性微分方程 y”+py'+qy=0的通解，那么，函数y=yp十y。是非齐次线性微分方程 y”+py'+qy=∫(x)的通解。 二、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法： 关于二阶常系数非齐次线性微分方程 y”+py'+qy=f(x)(p,g为常数，f(x)≠0为已知函数) 根据定理2可知，其通解为y二y。+》。。前一讲已经介绍了对应的齐次方程求通解yc的方 法和公式，现在的问题是如何求特解p。根据自由项f(x)的结构，分为以下儿种类型： 1.f(x)=Pnm(x)ex，方程为：y”+py'+qy=Pm(x)e (2为常数)