高等数学教案 第七章微分方程 其中：Pn(x)为x的m次多项式：Pm(x)=amx"+am-xm-+…+ax+a0 解法步骤： 第一步：设yp=Q(x)e: 第二步：代入原方程，得：Q"(x)+(22+p)Q'(x)+(入+p+q)Q(x)=Pm(x) (*): 第三步：根据入是不是特征根，由下列方法求特解Yp: (1)当入不是特征根，即入2+p2+q≠0时，可设 Ox)=e(x)=bxm+bx++x+bo (bm,bnm-1…,b,b为待定系数)， 代入上述方程(*)，用待定系数法求出bn,b-,,b,b,即得一个特解：yp=Q(x)e“: (2)当元是特征单根，即22+p2+q=0,但22+p≠0时，可设 (x)=xe (x)=x(bxm+bxbx+bo (bn,bm-1,…,b,b为待定系数) 代入上述方程()，用待定系数法可求得原方程的一个特解：y。=Q(x)“: (3)当是特征重根，即22+p2+g=0且21+p=0时，可设 2(x)=x22n(x)=x2(bmxm+bm-xm-1+…+b,x+b。 (bm,bm-1,…,b,b为待定系数)， 代入上述方程()，同样用待定系数法可求得原方程的一个特解：y。=Q(x)“。 综上所述，二阶常系数非齐次线性微分方程y”+py'+q少=Pm(x):具 有 形 如 yp=xe (x)ek (2m(x)=bmxm+bm-xm-+…+bx+b是x的m次多项式)的特解，且 0 (不是特征根) k= 1 (入是特征单根)。 2(2是特征重根) 例1.求方程2y"+y'-y=3-2x的通解。 解：对应的齐次方程为2y”+y'-y=0,特征方程为2r2+r-1=0,解得特征根： 2