高等数学教案 第七章微分方程 万=-山片=)，所以齐次方程的通解为：上=C,e+C,e2。 又因为入=0不是特征根，而m=1,故设y,=Ax+B,代入原方程，得： -A=-2 -Ax+(A-B)=-2x+3,即： A=2 解得： A-B=3, B=-1 故y。=2x-1, 所以原方程的通解为：y=Ce+C,e2”+2x-1. 例2.求方程y”+y=3-2x的通解。 解：对应的齐次方程为y”+y'=0,特征方程为r2+r=0,解得特征根： 1=-1,52=0, 所以齐次方程的通解为：y=Ce+C2。 又因为元=0是特征单根，而m=1,故设y。=x(Ax+B),代入原方程，得： 即： 2A=2解得： A=-1 2A+B=3, B=5 故，=(-x+5)=-2+5x, 所以原方程的通解为：y=Ce-x2+5x+C2。 2.f(x)=Pm(x)e“cosr或f(x)=Pn(x)e sin,方程为： y"+py'+gy P (x)e cos Bx (I) y"+py'+qy P (x)e sin Bx (IⅡ) (其中：p,q,a,B为已知实数，Pn(x)为x的m次多项式) 解法步骤： 第一步： 设2=a+iB,则ex=ea+ar=er(Cos Bx+isin Bx): 第二步： 构造辅助方程 y"+py'+qy=P(x)eca (cos Br+isin Ar)=P(x)e (III) 根据定理2，可以证明方程(D的解的实部是方程（①的解，虚部是方程(）的解： 第三步： 用方法(I)求出方程(D的通解，就能得到方程（①或(）的通解， 例3.求方程y”-y'-2y=sinx的通解。 解：该微分方程对应的齐次方程为y”-y'-2y=0, 3