高等数学教案 第七章微分方程 其特征方程为r2-r-2=0,解得特征根为5=-1,5=2， 因此齐次方程的通解为：y。=C,e+C,e2r。 令元=i,构造辅助方程：y”-y'-2y=e (*) 因为入=i不是特征根，因此设方程(*)有一个特解为y*=Ax,代入方程 (*),得： -Ae-iMe-2Ae=e,即：(3-0A=-1,解之，得：A=-3-, 因而 10 y=-3e=3cosr-isin对= 3cosx+sinx cosx-3sinx 10 10 10 10 它的虚部就是原方程的一个特解：巧=cosr-3six 10 所以原方程的通解为：y=Ce+C,e2+cosr-3sinr 10 3.fd=f()+f5x) (f(x),f(x)不是同类函数)，方程为： y"+py'+gy=f(x)+f(x). 解法步骤： 第一步：求对应的齐次方程y”+py+qy=0的通解y。: 第二步：分别求出方程y”+py'+qy=∫(x)和方程y”+py'+9y=f(x)的 特解：y,y2: 并根据定理2，写出原方程的特解：y。=y+y2; 第三步：写出原方程的通解：y=y。+y。=y。+y+y;。 例4.求方程y”+2y'-3y=c0sx+x-1的通解。 解：该微分方程对应的齐次方程为y”+2y'-3y=0, 其特征方程为r2+2r-3=0,解得特征根为：5=-3,2=1， 因此，齐次方程的通解为：y。=Ce-3x+C3e"。 为了求原方程的一个特解，将原方程分解为：y”+2y'-3y=C0sx (①) y"+2y'-3y=x-1 ()