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解.过点(1,1)的直线为 所以 Fk)=L[x 2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2]kx x5 2k k(1-k)x2+(1-k) 8k+=(k2+2k-2)+4k(1-k)+2(1-k) 4.8 + k=2 所求直线方程为y=2x-1 求函数f(x)=[(2-1)e-a的最大值与最小值 解.∫(x)=2x2(2-x2)e-=0,解得 f(0)=0,f(±2)=(2-cd=1+e2,f(x)=(2-0ed=1 所以,最大值f(±√2)=1+e-2,最小值f(0)=0 4.已知圆x-b)2+y2=a2,其中b>a>0,求此圆绕y轴旋转所构成的旋转体体积和表面积 解.体积 =2×2xxva2-(x-b令x=b=amr1(b+asmm2 e cos 2 tdt 表面积:y=(x)绕x轴旋转所得旋转体的表面积为 (x-b)2+y2=a2绕y轴旋转相当于(-b)2+x2=a2绕x轴旋转该曲线应分成二枝 y=b± 所以旋转体的表面积 d+2|(b-a2-x2) dx zab =8rabl dt= 4z2ab 5、设有一薄板其边缘为一抛物线(如图),铅直沉入水中 i.若顶点恰在水平面上,试求薄板所受的静压力.将薄板下沉多深压力加倍? ⅱi.若将薄板倒置使弦恰在水平面上,试求薄板所受的静压力.将薄板下沉多深压力加倍? 解.i.由图知抛物线方程为y= 于是解. 过点(1, 1)的直线为 y = kx + 1－k 所以 F(k) = Ú - - - 2 0 2 2 [x kx (1 k )] dx = Ú - + + - + - + - 2 0 4 3 2 2 2 [x 2kx (k 2k 2)x 2k (1 k )x (1 k ) ]dx = 2 0 3 2 2 2 4 5 (1 ) (1 ) 3 2 2 4 2 5 ˙ ˚ ˘ Í Î È + - + - + - - + x k k x k x k k x x k = 2 2 ( 2 2) 4 (1 ) 2(1 ) 3 8 8 5 32 - k + k + k - + k - k + - k 0 3 8 3 4 (2 2) (4 8 ) 4(1 ) 3 8 F '(k ) = - 8 + k + + - k - - k = k - = k = 2 所求直线方程为 y = 2x－1 3. 求函数 Ú - = - 2 0 ( ) (2 ) x t f x t e dt 的最大值与最小值. 解. ' ( ) 2 (2 ) 0 2 2 2 = - = - x f x x x e , 解得 x = 0, x = ± 2 f (0 ) = 0 , 2 2 0 ( 2) (2 ) 1 - - ± = - = + Ú f t e dt e t , Ú +• - ±• = - 0 f ( ) (2 t)e dt t =1 所以, 最大值 2 ( 2) 1 - f ± = + e , 最小值 f (0 ) = 0 . 4. 已知圆(x－b) 2 + y 2 = a 2 , 其中 b > a > 0, 求此圆绕 y 轴旋转所构成的旋转体体积和表面积. 解. 体积 Ú Ú - + - = ¥ - - - = + 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) sin 4 ( sin ) cos p p V p x a x b dx x b a t p b a t a tdt b a b a 令 = 2 2 2 2 0 2 2 2 4 8 ba cos tdt 8 ba p ba p p p p = × = Ú 表面积: y = f(x)绕 x 轴旋转所得旋转体的表面积为 S= Ú + b a 2 f ( x ) 1 f ' ( x )dx 2 p (x－b) 2 + y 2 = a 2绕 y 轴旋转相当于(y－b) 2 + x 2 = a 2绕 x 轴旋转. 该曲线应分成二枝: 2 2 y = b ± a - x 所以旋转体的表面积 Ú- Ú- - + - - - = + - a a a a dx a x a dx b a x a x a S b a x 2 2 2 2 2 2 2 2 2p ( ) 2 p ( ) = ab dt ab a x dx ab a a 2 2 2 2 0 4p 8 p 4 p p = = - Ú- Ú . 5、 设有一薄板其边缘为一抛物线(如图), 铅直沉入水中, i. 若顶点恰在水平面上, 试求薄板所受的静压力. 将薄板下沉多深压力加倍? ii. 若将薄板倒置使弦恰在水平面上, 试求薄板所受的静压力. 将薄板下沉多深压力加倍? 解. i. 由图知抛物线方程为 5 3 x y = . 于是