2006基础 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 (2)对称性:若矩阵A和矩阵B等价,则矩阵B和 矩阵A也等价; (3)传递性:若矩阵A和矩阵B等价,矩阵B和 矩阵C等价,则矩阵A和矩阵C等价. 形如 的矩阵称为矩阵的等价标准形 任意矩阵A都与一个等价标准形 等 00 价.其中r是r阶单位矩阵.这个r是一个不变量, 它就是矩阵的秩 或者说,任何矩阵都可以通过一系列的初等变换 化作等价标准形.由于每做一次初等变换就相当于在 矩阵的左端或右端乘一个初等矩阵,因此又可以说, 任何矩阵总存在一系列的初等矩阵P,P2…,P,和 初等矩阵Q1,Q2,…,Q1使得 sS-1 P1AC1Q2…Q 令P=PP1…B1,Q=Q1Q2…Q1,由于初等矩 阵都是可逆矩阵,其乘积自然也是可逆的,于是又可 以说,对任意m×n的矩阵A,总存在m阶可逆矩阵 P和n阶可逆矩阵Q,使得2006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 6 （２） 对称性：若矩阵 和矩阵 等价，则矩阵 和 矩阵 也等价； A B B A （３） 传递性：若矩阵 和矩阵 等价，矩阵 和 矩阵C 等价，则矩阵 和矩阵C 等价． A B B A 形如 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 r I 的矩阵称为矩阵的等价标准形． 任意矩阵 A 都与一个等价标准形 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 r I 等 价．其中 Ir 是r 阶单位矩阵．这个r 是一个不变量， 它就是矩阵的秩． 或者说，任何矩阵都可以通过一系列的初等变换 化作等价标准形．由于每做一次初等变换就相当于在 矩阵的左端或右端乘一个初等矩阵，因此又可以说， 任何矩阵总存在一系列的初等矩阵 ，和 初等矩阵 P P Ps , , , 1 2 L Q Q Qt , , , 1 2 L 使得 Ps Ps−1 LP1 AQ1Q2 LQt ＝ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 r I ． 令P ＝Ps Ps−1 LP1，Q＝Q1Q2 LQt，由于初等矩 阵都是可逆矩阵，其乘积自然也是可逆的，于是又可 以说，对任意m × n的矩阵 A，总存在m 阶可逆矩阵 P 和n阶可逆矩阵Q，使得