2006基础 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 PAO=00 每一个矩阵都有一个唯一的等价标准形,因此等 价的矩阵有相同的等价标准形,反过来,有相同等价 标准形的矩阵是等价的 例6设n阶矩阵A与B等价,则必有 (A)当4=a(a≠0)时,B=a (B)当A=a(a≠0)时,B=-a (C)当A≠0时,B=0 0)当A=0时,B=0 3.4矩阵的秩 在mxn矩阵A中,任取k行k列,位于这k行k 列交叉处的k2个元素按其原来的次序组成一个k阶 行列式,称为矩阵A的一个k阶子式 若矩阵A中有一个r阶子式不为零,而所有r+1 阶子式全为零,则称矩阵A的秩为r.矩阵A的秩记 作r(A). 零矩阵的秩规定为零 显然有 (4)≥r分A中有一个r阶子式不为零; r(A)≤r分A中所有r+1阶子式全为零 若n阶方阵A,有r(A)=n,则称A是满秩方阵2006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 7 PAQ＝ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 r I ． 每一个矩阵都有一个唯一的等价标准形，因此等 价的矩阵有相同的等价标准形，反过来，有相同等价 标准形的矩阵是等价的． 例 6 设n阶矩阵 A与B等价，则必有 (A) 当 A = a (a ≠ 0)时， B = a． (B) 当 A = a (a ≠ 0)时， B = −a． (C) 当 A ≠ 0时， B = 0． (D) 当 A = 0时， B = 0． ３．4 矩阵的秩 在m × n矩阵 A中，任取k行k列，位于这k行k 列交叉处的 个元素按其原来的次序组成一个 2 k k 阶 行列式，称为矩阵 A的一个k阶子式． 若矩阵 A中有一个r阶子式不为零，而所有r + 1 阶子式全为零，则称矩阵 A的秩为r．矩阵 的秩记 作 ． A r(A) 零矩阵的秩规定为零． 显然有 r(A) ≥ r ⇔ A中有一个r阶子式不为零； r(A) ≤ r ⇔ A中所有r + 1阶子式全为零． 若n阶方阵 A，有r(A) = n，则称 A是满秩方阵．