D0I:10.13374/j.issn1001-053x.2006.01.010 第28卷第1期 北京科技大学学报 Vol.28 No.1 2006年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jan.2006 稳态胞晶生长控制方程的解析解及其传输行为 梁晨郑连存陈琛 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要建立了稳态胞晶生长温度场数学模型.通过在复数域内应用分离变量法对控制方程进行 求解，得到了问题的解析解.讨论了在某些特定情形下的能量传输特性. 关键词晶体生长；稳态；胞品；傅立叶级数 分类号TG111.4 晶体生长理论在当今材料科学的研究中有着 2方程的求解 十分重要的地位和意义，很多科学工作者都对其 进行研究，并取得了很多有意义的成果，然而， 注意到如果在实数范围内用分离变量法解方 由于晶体生长是一种非常复杂的过程，涉及到质 程(1)，其固有值为实数，不能满足周期性边界条 量传输、热量传输和动量传输，其理论的发展是比 件(2)，因此不能采用常规的分离变量法求解.为 较缓慢的，晶体生长的内在规律至今并没有被揭 解决这个问题，设T(x,之)为一复数函数.首先 示4].晶体生长可分为三种形式：平面晶，胞晶 在复数域内对上述方程进行求解，然后分离解的 和柱状晶.生长过程经历两个状态：非稳态和稳 实部和虚部以得到它的实值解.首先将复数函数 态，本文研究的是在稳态情形下热量传输过程的 T(x,z)设为： 特性 T(I,z)=To+T(x,z) (6) 则问题(1)~(5)化为： 1数学模型的建立 N0x2+a2+V.号1+ 设所研究的问题为二维稳态胞晶生长.由扩 +y,要-0) T(z,z)=T(z+2l,z) (2') 散和对流引起的温度交化为△T和V lim T(x,z)=0 (3) y,,其中。为温度扩散系数边界条件可设 T(x,0)=T(-x,0) (4) T(z,0)=f(z)-To (5) 为：T(x,z)=T(x+2l,z)(周期性)；limT 将T(x,z)分离为： (x,x)=To(远场)；T(x,0)=T(-x,0)(对称 T(z,z)=u(x)w(z) (7) 性)；T(x,0)=f(x)(初始条件).对于二维稳态 将其代入式(1)，得： 胞晶生长建立如下数学模型56] au"(z)+Vu(z)aw"(:)+Vw'(z)=k a(++.+y-0a) u(x） w(z) 这样就得到两个常微分方程： T(z,z)=T(x+21,z) (2) au(x)+V,u'(x)-ku(x)=0(8) lim T(x,z)=To (3) aw"(z）+V'(z）+kw(x）=0(9) T(x,0)=T(-x,0) (4) 将式(7)代入边界条件(2)，得u(x+2l)= T(x,0)=f(x) (5) u(x).将其与式(8)联立，得到如下固有值问题： au"(x)+Vu'(x)-ku(x)=0 收精日期：2004-10-12修回日期：2004-1205 (10) 基金项目：国家自然科学基金的资助项目(No.50476083):北京 u(x+21)=u(x) 科技大学研究生院研究基金资助项目 由于u(X)是周期为l的函数，因此设： 作者简介：梁晨(1981一)，男，硕士：郑连存(1957一)，男，教授， 博士 空ce% (11)第 卷 第 期 肠 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 五 即 邺留 劝 。 稳态胞晶生长控制方程的解析解及其传输行为 梁 晨 郑连 存 陈 深 北京科技大学应用科学学院 ， 北京 摘 要 建立 了稳态胞 晶生长温度场数学模型 通过在复数域 内应 用分离变量法对控制方程进行 求解 ， 得到 了问题的解析解 讨论 了在某些特定情形下 的能量传输特性 关键词 晶体生长 稳态 胞晶 傅立 叶级数 分类号 晶体生长理论在 当今材料科学 的研 究中有着 十分重要 的地 位 和 意 义 ， 很 多 科 学 工 作 者 都 对其 进行研 究 ， 并 取 得 了很 多 有 意 义 的 成 果 然 而 ， 由于 晶体生长 是 一 种非 常复杂 的过 程 ， 涉及 到 质 量传输 、 热量传输和 动量传输 ， 其理论 的发 展是 比 较缓慢 的 ， 晶体 生 长 的 内在规律 至 今并 没 有 被揭 示 〔‘川 晶体生长 可分 为 三 种形 式 平 面 晶 ， 胞 晶 和 柱状 晶 生 长 过 程 经 历两 个 状 态 非 稳 态 和 稳 态 本文研究的是在稳态情形 下 热 量 传输过程 的 特性 方程的求解 注意到如果在实数 范 围内用分 离变量法解方 程 ， 其固有值为 实数 ， 不 能满足 周期性边 界条 件 ， 因此 不能采用常规 的分 离变 量法 求解 为 解决这个 间题 ， 设 ， 为一 复数 函数 首先 在复数域 内对 上 述 方 程 进行 求解 ， 然后 分离解 的 实部和 虚部 以得到 它 的实值解 首先将复数函数 ， 设 为 数学模型的建立 设所研究的问题为二维 稳 态胞 晶生 长 散和 对 流 引 起 的 温 度 变 化 为 △ 和 ， 则 问题 一 化为 沪丁 丁 硕 十 万， “ ， · 畜 十 云 ， ， 叮 ， 其 中 为 温 度扩 散 系数 边 界 条 件可设 ， 之 ， 之 周 期性 。 远 场 ， 一 ， 对 称 一 ， 一 ‘ ， ， ‘ ， 九巧 性 ， 初 始条 件 对 于 二 维 稳 态 胞 晶生 长建立如下数学 模型 阶‘ 〕 了护 护 ， ， ， ， “ 硕 十 万 “ “ 丽 十 二 丽 将 ， 分离为 ， 将其代入式 ’ ， 得 ， ‘ ，’ ’ 一 切 一 这样就得到 两个常微分方程 、 ， ， ‘沙‘、、产矛 内 产、声、， ， 。 、声 夕 月 、、 ， 一 ， 、了了 呀以、︸ ， ’， ’ 一 走 二 ， 切 ‘ 寿二 二 将式 代 入 边 界 条 件 ’ ， 得 将其与式 联立 ， 得 到 如下 固有值问题 收稿日期 一 一 修回 日期 一 七 墓金项 目 国家 自然科学基金 的资助 项 目 北 京 科技大学研究生院研究基金资助项 目 作者简介 梁晨 一 ， 男 ， 硕士 郑连存 一 ， 男 ， 教授 ， 博士 ’ ’ 一 乏 “ 由于 是周期为 的函数 ， 因此设 ， 、 书 。 “ 气苗 一 ‘ 日 七 ， 华 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2006．01．010