稳态胞晶生长控制方程的解析解及其传输行为.pdf_大学文库

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.2006.01.010 第28卷第1期北京科技大学学报 Vol.28 No.1 2006年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jan.2006 稳态胞晶生长控制方程的解析解及其传输行为梁晨郑连存陈琛北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要建立了稳态胞晶生长温度场数学模型.通过在复数域内应用分离变量法对控制方程进行求解，得到了问题的解析解.讨论了在某些特定情形下的能量传输特性. 关键词晶体生长；稳态；胞品；傅立叶级数分类号TG111.4 晶体生长理论在当今材料科学的研究中有着 2方程的求解十分重要的地位和意义，很多科学工作者都对其进行研究，并取得了很多有意义的成果，然而，注意到如果在实数范围内用分离变量法解方由于晶体生长是一种非常复杂的过程，涉及到质程(1)，其固有值为实数，不能满足周期性边界条量传输、热量传输和动量传输，其理论的发展是比件(2)，因此不能采用常规的分离变量法求解.为较缓慢的，晶体生长的内在规律至今并没有被揭解决这个问题，设T(x,之)为一复数函数.首先示4].晶体生长可分为三种形式：平面晶，胞晶在复数域内对上述方程进行求解，然后分离解的和柱状晶.生长过程经历两个状态：非稳态和稳实部和虚部以得到它的实值解.首先将复数函数态，本文研究的是在稳态情形下热量传输过程的 T(x,z)设为：特性 T(I,z)=To+T(x,z) (6) 则问题(1)~(5)化为： 1数学模型的建立 N0x2+a2+V.号1+ 设所研究的问题为二维稳态胞晶生长.由扩 +y,要-0) T(z,z)=T(z+2l,z) (2') 散和对流引起的温度交化为△T和V lim T(x,z)=0 (3) y,,其中。为温度扩散系数边界条件可设 T(x,0)=T(-x,0) (4) T(z,0)=f(z)-To (5) 为：T(x,z)=T(x+2l,z)(周期性)；limT 将T(x,z)分离为： (x,x)=To(远场)；T(x,0)=T(-x,0)(对称 T(z,z)=u(x)w(z) (7) 性)；T(x,0)=f(x)(初始条件).对于二维稳态将其代入式(1)，得：胞晶生长建立如下数学模型56] au"(z)+Vu(z)aw"(:)+Vw'(z)=k a(++.+y-0a) u(x） w(z) 这样就得到两个常微分方程： T(z,z)=T(x+21,z) (2) au(x)+V,u'(x)-ku(x)=0(8) lim T(x,z)=To (3) aw"(z）+V'(z）+kw(x）=0(9) T(x,0)=T(-x,0) (4) 将式(7)代入边界条件(2)，得u(x+2l)= T(x,0)=f(x) (5) u(x).将其与式(8)联立，得到如下固有值问题： au"(x)+Vu'(x)-ku(x)=0 收精日期：2004-10-12修回日期：2004-1205 (10) 基金项目：国家自然科学基金的资助项目(No.50476083):北京 u(x+21)=u(x) 科技大学研究生院研究基金资助项目由于u(X)是周期为l的函数，因此设：作者简介：梁晨(1981一)，男，硕士：郑连存(1957一)，男，教授，博士空ce% (11)

第卷第期肠年月北京科技大学学报五即邺留劝。稳态胞晶生长控制方程的解析解及其传输行为梁晨郑连存陈深北京科技大学应用科学学院，北京摘要建立了稳态胞晶生长温度场数学模型通过在复数域内应用分离变量法对控制方程进行求解，得到了问题的解析解讨论了在某些特定情形下的能量传输特性关键词晶体生长稳态胞晶傅立叶级数分类号晶体生长理论在当今材料科学的研究中有着十分重要的地位和意义，很多科学工作者都对其进行研究，并取得了很多有意义的成果然而，由于晶体生长是一种非常复杂的过程，涉及到质量传输、热量传输和动量传输，其理论的发展是比较缓慢的，晶体生长的内在规律至今并没有被揭示〔‘川晶体生长可分为三种形式平面晶，胞晶和柱状晶生长过程经历两个状态非稳态和稳态本文研究的是在稳态情形下热量传输过程的特性方程的求解注意到如果在实数范围内用分离变量法解方程，其固有值为实数，不能满足周期性边界条件，因此不能采用常规的分离变量法求解为解决这个间题，设，为一复数函数首先在复数域内对上述方程进行求解，然后分离解的实部和虚部以得到它的实值解首先将复数函数，设为数学模型的建立设所研究的问题为二维稳态胞晶生长散和对流引起的温度变化为 △ 和，则问题一化为沪丁丁硕十万， “ ， · 畜十云，，叮，其中为温度扩散系数边界条件可设，之，之周期性。远场，一，对称一，一 ‘ ，， ‘ ，九巧性，初始条件对于二维稳态胞晶生长建立如下数学模型阶‘ 〕了护护，，，， “ 硕十万 “ “ 丽十二丽将，分离为，将其代入式 ’ ，得， ‘ ，’ ’ 一切一这样就得到两个常微分方程、，， ‘沙‘、、产矛内产、声、，，。、声夕月、、，一，、了了呀以、︸， ’， ’ 一走二，切 ‘ 寿二二将式代入边界条件 ’ ，得将其与式联立，得到如下固有值问题收稿日期一一修回日期一七墓金项目国家自然科学基金的资助项目北京科技大学研究生院研究基金资助项目作者简介梁晨一，男，硕士郑连存一，男，教授，博士 ’ ’ 一乏 “ 由于是周期为的函数，因此设，、书。 “ 气苗一 ‘ 日七，华 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2006．01．010

。梁展等稚态胞晶生长控制方程的解析解及其传翰行为其中，为待定常数将式带入方程得，二。二竺厂、门圣 · “ 一丫十丫 ‘ 一 ‘ 」一 ” 二，〕 ‘ 创、万，下十乙曰，，土「。土巫丝卫匹，】七，一，工 ‘ 月、 “ ，巫丝、，塑飞下，口 ‘ ，司由三角函数系的正交性有从而求得利用边界条件和，最终得到问题一的解析解，、，二一。一亏宁 ‘ · 习浏﹃一十一竿 ’ 、弩一一，，一竿 ’ 竿再将其带入式得 “ ’ 了一、一，弩一竿 ‘」一方程有如下形式的解工性丝丝匹，一、，之丫，、 ‘ 石产、，其电、。一剑，，工一。， “ 。一封华，二，， ‘ ，二一平一兰，给定初始条件的具体例子其中，、，，，二为常数利用周期性条件，解可以简化为给定初始条件方程介护沪 “ －士十’ －于，二，则有如下刀万竺。二、二仁，户 ’孟，一刀 ‘ 工，刀二豁豁一 ‘ ，，这就是方程与边界条件的解将带入方程，得，二，，。川二二 · 二一。竿，竿」 · 一 “ 可得间题一的解方程有如下形式的解由解，，口 · 。。戴，。。 · 笋 “ · ，一，。入，’ ，。 ‘ ‘ 十代丁一从二为方便计算，令二二，则赶二万厂十 “ 其中一，，又一二－－下一，，，为待定常数，利用远场条件，工。」甲， “ 一二二品工一 ‘ 一，二，可得因此解简化为，一，，孟，‘ 一工 ‘ 。。二。。二二一兀一成其中，入二二卞－－尸丁所以，，二。一。。二一一一，、一仓匀将式和相乘，得到丁，矛，二一。，二，二一，竿 ‘· ， · 其中，久为待定常数将上述解的实部和虚部分离再相加，得其中，一万图和图认－十，为解在。二，二一，。，不‘ ，，一互一贡丫 ‘ ’ 。争丝土几丝二权乙，万，下七 ” 、二一之卞二因此时的图像从图中可以看出在晶体生长过程中，在值较小即固液界面附近，温度较低且振荡幅度较大随着值的增加，温度越来越高且振荡也逐渐衰减，曲线逐渐趋于平缓并向远场温度。靠近

·44 北京科技大学学报 2006年第1期 3.0 随着之值的增加，图像的对称轴逐渐偏离，这也 2.5 表明了随着不断向液相靠近，温度T和x的变化关系.这种对称轴偏离的现象至今并没有人对其 2.0 进行阐述和解释，笔者认为这种现象可能是在生长初期固液界面上的随机扰动引起的，但其真正 1.0 机理还有待进一步的研究. 0.5 4结论 05101520253035 本文建立了稳态晶体生长温度场的数学模图1x=0时x一T平面的温度分布型，并在复数域内用分离变量法得出了温度场控 Flg.1 Distribution of temperature along the z axis at x=0 制方程的解析解，并给出了特殊情形下的热传输图像.从结果可以看出，温度场是振荡的且随z &r (a) (b) (c) 的增加而逐渐衰减，并在x轴方向上呈周期变化，揭示了晶体生长达到稳态过程中其形态呈现周期性的一致发展和温度振荡随坐标的变化特性 0 参考文献 [1」常国威，王建中，金属凝固过程中的晶体生长与控制.北京：冶金工业出版杜，2002 4 [2]阀乃本，晶体生长的物理基础，上海：上海科学技术出版社， 1982 [3]Mullins WW,Sekerka R J.Stability of a planar interface dur. -81012-81012 ing solidification of a dilute binary alloy.J Appl Phys,1964, 35:444 图2x=0(a),0.5(b)和1(c)时相应的x-T面的温度分布 [4]Xu JJ.Interface wave theory of solidification-dendritic pattern Flg.2 Distribution of temperatare along the z axis at =0 formation and selection of tip velocity.Phys Rev A,1991, (a,0.5(b),and1(c A15(43):930 由图2可知，当固定？时这完全是一个周期 [5]孟凡梓.晶体生长模式中摄动方法的应用[学位论文】.北性的图像，即温度在x轴上是周期变化的，这完京：北京科技大学，2003 [6】陈琛，郑连存，廖福成，等.二维稳态晶体生长的精确解.北全符合晶体生长的理论.从图2中还可以看出，京科技大学学报，2003,25(Suppi):4 Solution to the governing equation for dendritic growth and its transfer behavior LIANG Chen,ZHENG Liancun,CHEN Chen Applied Science School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT A mathematical model for dendritic growth of steady-state in the temperature field is estab- lished,and the analytical solution is derived in the form of Fourier series from separation of variables in the complex number field.The heat transfer characteristics in some special cases are discussed.Through the figures a clear view can be acquired about the substance of crystal growth. KEY WORDS crystal growth;steady state;dendritic;fourier series