三阶线性微分方程的若干新的可积类型

D0I:10.13374/j.issnl001053x.1995.03.018 第17卷第3期 北京科技大学学报 Vol.17 No.3 19956Joumal of University of Science and Technology Beijing Jun.1995 三阶线性微分方程的若干新的可积类型 吴檀 李安贵 北京科技大学数力系，北京100083 摘要借助于因变量代换，得到了三阶变系数线性微分方程的若干新的可积类型， 关键词线性微分方程，可积类型，通解 中图分类号0175 Some New Integrable Forms of Third-order Linear Differential Equations Wu Tan Li Angui Department of Mathematics and Mechanics,USTB,Beijing 100083 ABSTRACT Application of the transformations of function,some new integrable forms of third-order linear differential equation with variable coefficients are obtained. KEY WORDS linear differential equation,integrable forms,general solutions 三阶变系数线性微分方程 y"+p(x)y"+q(x)y'+r(x)y=0 (1) 没有一般的求解方法·本文借助于因变量代换，得到了方程(1)的若干新的可积类型· 方程(1)经因变量代换 y=u(x)v(x) (2) (这里u()是新的未知函数，而函数v(x)待定且v(x)卡0)可化为： o"+[3v'/+p(x)Ju"+[3v"7v+2p(x)v'/v+q(x)lu'+[""/+p(x)o"/v+q(x)o'/v+r(x)lu=0 (3) 下面，就(x)在各种条件下的待定问题展开讨论，并给出方程(I)相应的可积类型. 1关于代换y=uexp-px)dx31及与其相应的可积类型 如果在方程(3)中，令：3v'/m+p(x)=0,则可得到如下的代换： y=uexp[-p(x)dx/3] (4) 定理1三阶变系数线性微分方程(1)经因变量代换(4)可化为方程（称为(1）的简化型) u"+[q(x)-p'(x)-p2(x)/3]u'+[r(x)-p'"(x)/3-p(x)9(x)/3+2p'(x)/27]u=0(5) 1994-10-27收搞 第一作者男53岁副教授

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 “ 无 。 。 三 阶线性微分方程 的若干新 的可 积类型 吴 檀 李安贵 北 京 科 技 大 学 数 力 系 ， 北 京 摘要 借 助 于 因 变量 代 换 ， 得 到 了 三 阶 变 系 数 线性 微分 方 程 的若 干 新 的 可 积类 型 关键 词 线性 微分 方 程 ， 可 积类 型 ， 通 解 中图分 类号 一 ， ， ’ ， 此 一 ， ， 三 阶 变 系 数 线 性 微 分 方 程 ’ “ ，’ ‘ 没 有 一 般 的 求 解 方 法 本 文 借 助 于 因 变 量 代 换 ， 得 到 了方 程 的 若 干 新 的 可 积 类型 方 程 经 因 变 量 代 换 这 里 是 新 的未 知 函 数 ， 而 函 数 待 定 且 。 羊 可 化 为 ” ‘ 【 ‘ “ 【 甲 ’ ’ 【 ’ “ ‘， ’ 找 刀 下 面 ， 就 。 在 各 种 条 件 下 的 待 定 问题展 开 讨 论 ， 并 给 出 方 程 相 应 的 可 积 类 型 ‘ 关于 “ 换 ，一 介 及 与其相“ 的可积 类型 如 果 在 方 程 中 ， 令 ‘ 。 十 ， 则 可 得 到 如 下 的代 换 ，一 卜 丁 ， · · 定 理 三 阶变 系 数 线性 微 分 方 程 经 因变量 代换 可 化为方程 称 为 的简化型 ’ “ 【叮 一 夕 ’ 一 夕 』 ’ 一夕” 一 尸 叮 声 】 一 一 收 稿 第 一 作 者 男 岁 副 教 授 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1995．03．018

·290* 北京科技大学学报 1995年No.3 由此定理，容易得到下述推论： 推论1如果方程(1)满足条件： q(x)=p'(x)+p2(x)/3+A (6) r(x)=p'(x)/3+p(x)q(x)/3-2p3(x)/27+B (7) 这里A、B均为实常数，则方程(1)经代换(4)可化为常系数线性方程： u""+Au'Bu=0 (8) 且(8)的特征方程，+Ar+B=0的根可由卡尔丹公式给出.特别地，当A=B=0,即： q(x)=p'(x)+p2(x)/3 (9) r(x)=p'"(x/3+p(x)p'(x)/3+p3(x)/27 (10) 时，方程()的通解为：y=(C,+C,x+C,xExp-p(xx/31,其中CCC,为任意常数· 推论2如果方程(1)满足条件： q(x)=p'(x)+p2(x)/3-p"(x)/p(x) (11) r(x)=p'(x)/3+p(x)9(x)/3-2p3(x)/27 (12) 这里函数p(x)在所论区间上二阶可微且p(x)≠0，则方程(1)的通解为： =[C(dx+C:((((xdx+C,lexp[-p(x)dx/3]. 2关于因变量代换y=uexp-2 p(x)dx/31的两个结论 首先证明一个引理， 引理1三阶线性微分方程 u"+A(x)u”+1u+2A(x)u=0,(亿为常数) (13) 的通解为： (1)当20时， u=Cos√反x+Csin反x+C-os√反xinxdx+sinV反xxos√反xd以W反， 其中fx)=exp[-A(xdxy 事实上，方程(13)可变形为：(u”+元u)'+A(x)(u”+2u)=0,进而可转化为二阶常 系数非齐次线性方程：

北 京 科 技 大 学 学 报 卯 年 由此 定 理 ， 容 易 得 到 下 述 推 论 推 论 如 果 方 程 满 足 条 件 夕 ’ 夕 夕 ‘ 夕 叮 一 夕， 这 里 、 均 为 实 常 数 ， 则 方 程 经 代 换 可 化 为 常 系 数 线 性 方 程 “ ‘ ‘ 且 的特 征 方 程 尸 二 的根 可 由卡 尔 丹 公 式 给 出 特 别 地 ， 当 ， 即 夕 ‘ 一 于尸， 夕 ‘， 尸 户 ’ 尸， 方程 “ ，的通解 为 ，一 · 二 一 殆· 。一 ， · 。 · ， ， 其 中 、 、 为任意常数 推 论 如 果 方 程 满 足 条 件 夕 ‘ 夕’ 一职 ‘ ’ 中 夕” 夕 一 夕’ 这 里 函 数 价 在 所 论 区 间上 二 阶可 微 且 沪 手 ， 则 方 程 的 通 解 为 ，一 · · 二 · · 关于 因 变量代换 一 ‘ ， · 》 · 一 卜· 丁 · · 〕 · 仄 的两 个结论 首 先 证 明一 个 引理 引理 三 阶线 性 微 分 方 程 ’ “ ” 又 ‘ 的 通 解 为 当 兄 时 ， 一 ， 寸二丁 一 寸二万 又 二 ， 又 为 常 数 一 卜 二 · 〕 · 二 【二 ·卜 二 门 · 少 · 二 卜 二 · 〕 · 寸二万 当 又 时 ， 一 · 二 【 · · 一 孙 · · 当 又 时 ， 一 万 二 ， 抓 二 卜 抓 、 ‘ ·抓 · 一 ‘· 。 · 少、 。 · 二 ” 中 一 【一 ‘ 、 · 事实上 ， 方 程 可 变形 为 ” 兄的 ‘ ， 又 ， 进 而 可 转 化 为 二 阶 常 系 数非 齐次 线 性 方 程

Vol.17 No.3 吴檀等：三阶线性微分方程的若干新的可积类型 .291· u"u=C;exp[ A(x)dx] 故由文献[2]可知引理1成立， 现寻求1种因变量代换y=uv,以使方程(1)经该代换可转化为方程(13)·为此， 在方程(3)中，令， 3u"/v+2p(x)D/u+q(x)=1 (14) (v"'/m+p(x加"/u+q(x)D'/e+r(x)=2[3D'/D+p(x] (15) 以待定所需要的函数(x)同时，确定p(x)、q(x)、(x)之间所应具备的条件· 注意到(14)式可变形为： v"+[2p(xu'+(g(x)-1)]/3=0 可知，若选取： q(x)=2P(x)+1 (16) 则可将其进一步化为： v"+2[p(x)]/3=0,即v'+2p(x)D/3=C1, 由此可解得： =exp[-2p(xdx/3H(Cexp(2p(x)dx/3dx +C:C+) 为简便，不妨取C,=0,C=1.于是，所求因变量代换为： y=uexp[-2 p(x)dx/3] (17) 再将已确定的函数(x)及q(x)代人(15)式，又可得知(x)应满足的条件为： r(x)=2p"(x)/3+2p(x)p'(x)/3-4p3(x)/27-1p(x)/3 (18) 定理2三阶变系数线性微分方程(1)经因变量代换(17)化为方程： u'-p(x)u"+1u'-1p(x)u=0 (19) 的充要条件是(16)及(18)式同时成立· 此时，方程(1)的通解可由(17)式及二阶常系数非齐次方程： u"Au=C3 exp[ p(x)dx] 的通解给出， 证明：必要性已证，现证充分性· 方程(1)经因变量代换(17)可化为方程： w"-px)u"+[qx)-2p(x)u'+{[x)-2p"(x)/3+2px)p'(x)3+4px)/27-2px)q(x)/3u=0, 将(16)及(17)式代人，即为方程(19)，又由引理1立即可知本定理后半部分结论正确， 为得到第二个结论，再给出一个引理· 引理2如果(x)、2(x)是二阶线性方程 :”-2A'(x)z=0 的基本解组，则三阶线性方程：

丫 心 昊 檀等 三 阶 线性 微 分 方 程 的 若 干 新 的 可 积 类 型 · ” · “ 一 二 【一 ‘ · · 〕 为 此 故 由文 献 可 知 引理 成 立 现 寻 求 种 因变量 代换 ， 以 使 方 程 经 该 代 换 可 转 化 为 方 程 在 方 程 中 ， 令 ， ，，， 了 ， ， ’ 妙 丫 ” 招 ‘，扮 ， ， ， 、 ， 气 一 气 一 十 叹 几 一 气 以 待定 所 需 要 的 函数 。 林 同 时 ， 确 定 、 抓 、 之 间 所 应 具 备 的条 件 注 意到 式 可 变 形 为 ” 【 ’ 一 又 可 知 ， 若选 取 ‘ 又 则 可 将其 进 一 步 化 为 “ 夕 ’ ， 即 ‘ 夕 ， 由此 可 解 得 一 卜 ， · · ，】 二 丁 ， · · ，‘二 · ‘ 子 为 简便 ， 不 妨 取 ， 厂 于 是 ， 所 求 因变量 代换 为 、， 少 了、、了 、 曰二 ，城︺︷了、尹， ，一 【一 ， · ‘ · ，】 再 将 已 确 定 的 函 数 。 及 代人 式 ， 又 可 得 知 应 满足 的 条件 为 夕“ 夕 夕 ‘ 一 ’ 汉 定 理 三 阶变 系 数 线 性 微 分 方 程 经 因变 量 代 换 化 为方 程 ‘ ’ ‘ 一 “ 又 ‘ 一 义 的充 要 条件 是 及 式 同 时成 立 此 时 ， 方 程 的 通 解 可 由 式 及 二 阶 常 系 数 非 齐次 方 程 一 “ 一 二 【丁 ， · · 的通 解 给 出 证 明 必 要 性 已 证 ， 现 证 充 分 性 方 程 经 因 变 量 代 换 可 化 为方 程 ’ “ 一 办孙 一 夕 ‘ 」 ‘ 代 一 夕“ 冰 ‘ 夕 一 仄 ， 将 及 式 代人 ， 即为方程 又 由引理 立 即可知本定理后半部分结论正确 为 得 到 第 二 个 结 论 ， 再 给 出一 个 引 理 引理 如 果 、 是 二 阶 线 性 方 程 了 一 ‘ 灭 二 的基 本 解 组 ， 则 三 阶 线 性 方 程

·292 北京科技大学学报 1995年No.3 u"+A(x)u"+[A"(x)-2A(x)A(x)]u=0 (20) 的通解可表示为： uepl-∫+时46eatr+c) 事实上，方程(20)可变形为： [4'+A(x)u”-2A'(x)[u+A(x)u=0 进而有： u'+A(x)u=: 、:”-2A'(x):=0 由此即知引理2成立， 下面来证明：当p(x),q(x),(x)之间满足某种关系时，前述因变量代换(17)也可化方程 (1)为方程(20).为此在方程(3)中令： 了3u"+2p(x)v'+q(x)D=0 (21) 1v"e+p(x)D'1e+q(x)D'm+r)=3v'+p(x"-2[3v'e+p(x[3D'/e+p(xI(22) 易见，若取： q(x)=2p'(x) (23) 则以)为未知函数的方程(21)可变形为： v”+2[p(x)j/3=0 由此可求得： =exp[-2p(xdx/3C exp[2 p(dx/3x+C;} 这里C+C≠0.当取C,=0,C,=1时，即得代换(17)中之函数(x).将此v(x)及由(23) 式所给出的q(x)代入(22)式，又可得： r(x)=-p"(x)/3-4p(x)p'(x)/3-4p3(x)/27 (24) 反之，如果方程(1)满足条件(23)及(24)，也易推知：方程(1)经因变量代换(17)可转 化为形如(20)的方程： u”-p(xu"-[p"(x)+2p(x)p'(x)]u=0 (25) 显然，这里A(x)=一p(x). 综合上述分析，并注意到引理2，便有下述定理， 定理3三阶变系数线性微分方程(1)经因变量代换(17)化为方程(25)的充分必要条 件是(23)及(24)式同时成立. 又若(x,2(x)是二阶线性方程： :"+2p'(x)z=0 (26) 的基本解组，则方程(1)的通解可由下式给出： y=expl p(xdx/3(C+C:)exp(-p(x)dxlx+C} (27)

北 京 科 技 大 学 学 报 卯 年 “ ‘ ” 【 ，’ 一 ‘ 〕 的通 解 可 表 示 为 一 卜 ， · ” · 丁 】一 二 。 ‘ · ‘ · 二 事 实 上 ， 方 程 可 变 形 为 【 ’ 』” 一 ‘ ’ 卜 进 而 有 厂 ‘ 夭 ， 一 ’ 由此 即 知 引 理 成 立 下 面 来 证 明 当 ， ， 之 间满 足 某 种 关 系 时 ， 前 述 因 变 量 代 换 也 可 化 方 程 为 方 程 为 此 在 方 程 中令 干 少州广 “ ‘冲气 一， ， 、 ， 宁 气 个 气 十 气 “ 一 【 ‘ 尸 』【 ‘ 夕 』 ‘ 易 见 ， 若 取 ‘ 则 以 。 为 未 知 函 数 的方 程 可 变 形 为 “ ‘ 由此 可 求得 一 卜 丁 ， · · 丁 二 【 丁 ， · ‘ · ， 二 这 里 举 当取 ， 时 ， 即得 代换 中之 函 数 将 此 。 及 由 式 所 给 出 的 代 人 式 ， 又 可 得 一 尸 ’ ‘ 一 夕 夕 ‘ 一 ， 反 之 ， 如 果 方 程 满 足 条 件 及 ， 也 易 推 知 方 程 经 因 变 量 代 换 可 转 化 为 形 如 的方 程 “ ‘ 一 。 ‘ ’ 一 【 ‘， ’ 」 显 然 ， 这 里 二 一 综 合 上 述 分 析 ， 并 注 意 到 引理 ， 便 有 下 述 定 理 定 理 三 阶 变 系 数 线 性 微 分 方 程 经 因 变 量 代 换 化 为 方 程 的 充 分 必 要 条 件 是 及 式 同 时 成 立 又 若 ， ， 是 二 阶 线 性 方 程 艺 ’ ‘ ‘ 的基 本 解 组 ， 则 方 程 的通 解 可 由下 式 给 出 夕一 ， · · ， 丁一 二 卜 · · 〕 二 ‘

Vol.17 No.3 吴檀等：三阶线性微分方程的若于新的可积类型 293· 3关于因变量代换y=uexp- p(x)dxl 引理3三阶线性方程： u'+A(x)u"+2A'(x)u'+A"(x)u=0 (28) 的通解为： u=expl-4(x)dx(C +C:x)exp[4(x)dxldx+C,) 事实上，这只需注意方程(28)可变形为： [u'+A(x)]'=0或u'+A(x)u=C,+C,x 即可. 现在来求一种因变量代换y=u心，以使方程(1)转化为方程(28).为此，在方程(3)中，令： 了3u"7D+2p(x)e'/e+q(x)=2[3'/v+p(x] (29) v""/v +p(x)v"/v+q(x)v'/v +r(x)=[3v'/v+p(x)]" (30) 以待定所需要的函数(x).在(29)式中，注意到： 3[u"/e-(u'7oy]=3(7w)2 则当取： q(x)=-p'(x)-p2(x) (31) 时，便可将(29)式化为： [3D'/u-p(xw'/u+p(x]=3[w'/)+p(x' 显然，欲使上式成立，应取： '/D+p(x)=0 即 v=Cexp[-p(x)dx] 这里C为非零常数，为简便不妨取C=1.于是，变换 y=uexp[-p(x)dx] (32) 即为所求.再将所得之v及q(x)代入(30)式，又可知(x)应满足的条件为： r(x)=-p"x)-3p(x)p'(x)-p3(x) (33) 定理4三阶变系数线性微分方程(1)经因变量代换(32)化为方程： u"-2p(x)u"-4p'(x)u'-2p"(x)u=0 (34) 的充分必要条件是(31)及(33)式同时成立，此时，方程(1)的通解为： y-(Cexp-2Pxdx+Cxexp-2(dxx+C,)exp[ (35) 证明：必要性已证.现证充分性. 作因变量代换(32)，方程(1)可化为： u"-2p(x)u"+[q(x)-3p'(x)+p2(xu'+[r(x)-p"(x)+2p(x)p'(x)-p(x)q(x)u=0 (下接301页)

吴 檀 等 三 阶 线 性 微 分 方 程 的 若 干 新 的 可 积 类 型 ， 关 于 因“ 量“ 换 ，一 卜 丁 仄 引理 三 阶线性 方 程 ’ ‘ ’ ’ ‘ ‘ ’ ‘， “ 的通解 为 一 卜 丁 · 〔 · 丁 ‘ · · 二 丁 · · · 二 ， 事 实上 ， 这 只 需 注 意 方 程 可 变 形 为 【 。 ‘ 」“ 或 ’ 即 可 现在来求一种 因变量代换 ， 以使方程 转化为方程 为此 ， 万 ， ， ， ’ ” ，’ 、 月 ” ‘ ” 、 十 一 “ ” ‘ ” 十 ‘ 气 沙 ” ’ 〔 ‘ ， 以 待定 所 需 要 的 函 数 。 在 式 中 ， 注 意 到 【 ‘， 一 ，。 ’ 」 。 ，。 ， 则 当取 叮 一 夕 ‘ 一 夕’ 时 ， 便 可 将 式 化 为 ‘ 加 一 」「 ’ 卜 「 ’ ‘ 显 然 ， 欲使上 式 成 立 ， 应 取 在方程 中 ， 令 夕 三 ， 一 二 卜 丁 ， · · 这 里 为 非 零 常 数 为 简便 不 妨 取 二 于 是 ， 变 换 ，一 卜 丁 · · 即 为所 求 再 将所 得 之 · 及 代 人 式 ， 又 可 知 应 满 足 的条 件 为 一 夕，’ 一 夕 ‘ 一 尸’ 定 理 三 阶 变 系 数 线 性 微 分 方 程 经 因 变 量 代 换 化 为方 程 龟了︼，内、 扭了、 、 ‘ ’ ‘ 一 ” 一 ‘ 、 ‘ 一 飞 “ 的充 分 必 要 条 件 是 及 式 同 时 成 立 此 时 ， 方 程 的 通 解 为 ，一 丁 二 卜 丁 ， · · 二 丁 · 卜 丁 ， · · 二 二 【丁 ， · ” 证 明 必 要 性 已 证 现 证 充 分 性 作 因 变 量 代 换 ， 方 程 可 化 为 。 ’ ‘ ’ 一 尸 ’‘ 宁 一 夕 ‘ 夕’ ‘ 【 一 夕 ‘， 夕 夕 ‘ 一 夕 口 下接 页

Vol.17 No.3 李文军等：BJ一I红外节能涂料的研制 301. 2.2涂料的粘结强度 BJ一I涂料具有足够的粘结强度，高温下长期使用时不开裂，不剥落，抗急热急 冷，抗热振性，从而保护炉村，延长炉衬使用寿命，从某种意义上讲，提高了冶金工业用 高温炉窑的寿命，研制性能优良的粘合剂是极重要的·在研制过程中，对原来广泛使用 的水玻璃粘合剂、磷酸盐粘合剂等进行了探索，均存在不同的缺点·我们采用自配的复 合粘合剂，不仅粘合强度高，且有较大的韧性，能耐高温，经2年多的生产中实际使 用，达到预想的结果， 为保证高温强度，除加复合粘合剂外，在涂料中加人烧结剂，使其高温下烧结硬 化，能经受热冲击，防止高温腐蚀，这是延长炉村寿命的重要措施· 为使用在冶金工业高温炉窑，保持涂层致密均匀，涂料固体颗粒必须在300目以 上，悬浮性好，基本不分层.涂层发气量一定要小于7mg,才能在升温或使用过程中， 保证分解的气体不会破坏涂层基体.BJ-I红外节能涂料200~850℃的发气量实验 证实，其发气量均在7ml/g以下. 3结论 (1)采用复合增黑剂，在高温下保持稳定的发射率， (2)配方中一定要有悬浮剂和烧结剂，粘合剂应具有较强的粘结性和韧性·涂 层发气量要小于7g,才能起到保护炉衬，延长炉衬使用寿命的作用· (3)BJ一I红外节能涂料，适用于燃气、燃重油等各种不直接接触融体的高温炉窑. 参考文献 1 Clements JG.High-Emissivity Coatings.Heat Treatment of Metals,1986(3):76~79 2 Hellander JC.High Emissivity Coating Prolong Refractory Life.Heat Treatment,1992,24(7):14~15 3 Hellander JC.Use of Ceramic Coatings to Enhance Performance of Metal Furance Com- ponents.Industrial Heating,1990,57(7):24~25 4 Lasday S B.Ceramic Refractory Coatings.Industrial Heating,1982,49(12):38~40 5蛋素真译，耐火涂层的使用性能与辐射性能.国外耐火材料，1991,16(6)：20~21 6周建初等·优质高温红外涂料的研制与应用.红外技术，1992,14(1)：34~40 的的的的的的的的的的前如钟的的的的的的的的的的的的的的响的的的前的响的前的帅帅帅的 （上接293页) 将(31)及(33)代入上式，即得方程(34). 将(34)表为： [u'-2p(xu'=0,即u'-2p(x)u=C1+C2x 并注意到(32)式，即知(35)式成立. 参考文献 1卡姆克E,张鸿林译.常微分方程手册.北京：科学出版社，1977 2吴亚敏，谈常系数非齐次线性微分方程的求解.教材通讯，1992(3)：32

李 文 军 等 一 红 外 节 能 涂 料 的研 制 涂 料 的粘 结 强 度 一 涂 料具 有 足 够 的 粘 结 强 度 ， 高 温 下 长 期 使 用 时 不 开 裂 ， 不 剥 落 ， 抗 急 热 急 冷 ， 抗 热振 性 ， 从而 保 护 炉 衬 ， 延 长 炉衬使用 寿命 从某种意义上讲 ， 提高 了冶 金 工 业 用 高温 炉 窑 的 寿命 研 制 性 能 优 良的 粘 合剂 是 极 重 要 的 在 研 制 过 程 中 ， 对原 来 广 泛 使 用 的水玻 璃 粘合 剂 、 磷 酸 盐 粘 合 剂 等 进 行 了 探 索 ， 均 存 在 不 同 的缺点 我们采 用 自配 的 复 合 粘 合 剂 ， 不 仅 粘 合 强 度 高 ， 且 有 较 大 的 韧 性 ， 能 耐 高 温 ， 经 年 多 的 生 产 中 实 际 使 用 ， 达 到 预 想 的结果 为保 证 高 温 强 度 ， 除 加 复 合 粘 合 剂 外 ， 在 涂 料 中加 人 烧 结 剂 ， 使 其 高 温 下 烧 结 硬 化 ， 能 经 受 热 冲击 ， 防止 高 温 腐 蚀 ， 这 是 延 长 炉 衬 寿命 的重 要 措 施 为使用 在 冶金 工 业 高温 炉 窑 ， 保 持 涂 层 致 密 均 匀 ， 涂 料 固 体 颗 粒 必 须 在 目 以 上 ， 悬 浮 性 好 ， 基 本不 分 层 涂 层 发 气量 一 定 要 小 于 ， 才 能 在 升 温 或 使 用 过 程 中 ， 保 证 分 解 的 气体不 会破 坏涂 层 基 体 一 红 外 节 能 涂 料 一 ℃ 的 发 气 量 实 验 证 实 ， 其 发 气量 均 在 而 以 下 结 论 采 用 复 合 增 黑 剂 ， 在 高 温 下 保 持 稳 定 的发 射 率 配 方 中一 定 要 有 悬 浮 剂 和 烧 结 剂 粘 合 剂 应 具 有 较 强 的 粘 结 性 和 韧 性 涂 层 发 气 量 要 小 于 ， 才 能 起 到 保 护 炉 衬 ， 延 长 炉 衬 使 用 寿命 的作 用 一 工 红外节能涂料 ， 适用于燃气 、 燃重油等各 种 不 直 接 接 触 融 体 的 高温炉窑 文 献 】 一 而 ， 一 而 诵 ， ， 一 · ， ， 一 考 而 邵 ， ， 一 霍 素真 译 耐 火 涂 层 的使 用 性 能 与 辐 射性 能 国外 耐 火 材 料 ， ， 一 周 建 初 等 优 质 高 温 红 外 涂 料 的 研 制 与 应 用 红 外 技 术 ， ， 一 上 接 页 将 及 代 人 上 式 ， 即 得 方 程 将 表 为 【 ‘ 一 夕 』 ‘ ’ ， 即 。 ‘ 一 夕 并 注 意 到 式 ， 即 知 式 成 立 参 考 文 献 卡 姆 克 ， 张 鸿林 译 常微 分 方 程 手 册 北 京 科 学 出 版 社 ， 吴 亚 敏 谈 常 系 数 非 齐次 线 性 微 分 方 程 的 求解 教 材 通 讯