Vol.28 No.1 柔展等：稳态胞晶生长控制方程的解析解及其传输行为 ·43· 其中Cm为待定常数.将式(11)带入方程(8)得： T(x,x)=T0+ 2c.e[-a2+y,-=0 宫…小c學+5 (12) (21) 由三角函数系的正交性有： c.+停到] e2+v.-k=0 利用边界条件(4)和(5)，最终得到问题(1)~(5) 的解析解： 从而求得 k=-a个2+y T()=To+doe (13) 再将其带入式(8)得： ()+V()+[o-v0 其中，d山=∫，fxa-T (14) 方程(14)有如下形式的解： 3给定初始条件的具体例子 .(x)=C.e"+C2e (15) 给定初始条件：T(x,0)=cos2x,则有如下 其中，C1m,C2,n为常数.利用周期性条件(10)，解 方程： (15)可以简化为： ,(z)=C.e (16) +++v.证-02s) a 这就是方程(8)与边界条件(10)的解 T(x,之)=T(x+2l,z) (24) 将(13)带入方程(9)，得： lim T(x,z)=To (25) w(e)+v,u'(e)+[-a(2+ T(x,0)=cos2x (26) Y.w(e)=0 由解(22)，可得问题(23)~(26)的解： (17) 方程(17)有如下形式的解： Tz,0）=T。+d+月d,u7,=2x w(z)=C3C (18) (27) 其中尝+-兴警=尝专+ 为方便计算，令l=元，则： n=2, 兴行CC…为特定常数有用运场条件 d∫八o2xd-T0=-T limw(之)=0，可得C3=0.因此解(18)简化为： w,(z）=C.ne d4-八，ca2o2dr1 (19) 所以， 其中，=名-+必平 T(x,x)=To(1-e)+ePcos(qz +2x) r a l 将式(16)和(19)相乘，得到： (28) T.()=,(x)w,(z)=Cre(20) 其中，=兰小g=2各 r a 其中，C为待定常数.将上述解的实部和虚部分 图1和图2为解在T0=3,力=一0.2，q= 离再相加，得： 1.5时的图像. -宫e…[G, 从图1中可以看出：在晶体生长过程中，在之 值较小即固液界面附近，温度较低且振荡幅度较 学+cm出+平小 大；随着之值的增加，温度越来越高且振荡也逐 渐衰减，曲线逐渐趋于平缓并向远场温度T0靠 因此， 近.。 梁展等 稚态胞晶生长控制方程的解析解及其传翰行为 其中 ， 为待定常数 将式 带入方程 得 ， 二 。 二竺 厂 、 门 圣 · “ 一 丫 十 丫 ‘ 一 ‘ 」一 ” 二 ， 〕 ‘ 创 、 万， 下 十 乙曰 ， ， 土 「。 土巫丝 卫匹 ， 】 七 ， 一 ， 工 ‘ 月 、 “ ， 巫丝 、 ， 塑 飞 下 ， 口 ‘ ， 司 由三 角函数系的正交性有 从而求得 利用边界条件 和 ， 最 终得 到 问题 一 的解析解 ， 、 ， 二 一 。 一 亏 宁 ‘ · 习浏﹃ 一 十 一 竿 ’ 、 弩 一 一 ， ， 一 竿 ’ 竿 再将其带入式 得 “ ’ 了 一 、 一 ， 弩一 竿 ‘」 一 方程 有如下形式的解 工性丝 丝匹 ，一 、 ， 之 丫 ， 、 ‘ 石 产 、 ， 其 电 、 。 一 剑 ，， 工 一 。 ， “ 。 一 封 华 ， 二 ， ， ‘ ， 二 一 平 一 兰 ， 给定初始条件的具体例子 其中 ， 、 ， ， ， 二 为常数 利用周期性条件 ， 解 可 以 简化为 给定初 始条 件 方程 介 护 沪 “ －士 十’ －于 ， 二 ， 则 有 如 下 刀万 竺 。 二 、 二 仁 ， 户 ’孟 ， 一 刀 ‘ 工 ， 刀 二 豁 豁 一 ‘ ，， 这就是方程 与边界条件 的解 将 带入方程 ， 得 ， 二 ， ， 。 川 二 二 · 二 一 。 竿 ， 竿」 · 一 “ 可得 间题 一 的解 方程 有如下形式的解 由解 ， ， 口 · 。 。 戴 ， 。 。 · 笋 “ · ， 一 ， 。 入，’ ， 。 ‘ ‘ 十 代丁 一从 二 为方便计算 ， 令 二 二 ， 则 赶 二 万厂 十 “ 其中 一 ， ， 又 一 二 －－ 下一 ， ， ， 为待 定常数 ， 利用远场条 件 ， 工 。 」 甲 ， “ 一 二 二 品工 一 ‘ 一 ， 二 ， 可得 因此解 简化 为 ， 一 ， ， 孟，‘ 一 工 ‘ 。 。 二 。 。 二 二 一 兀 一 成 其中 ， 入 二 二 卞 －－ 尸丁 所 以 ， ， 二 。 一 。 。 二 一 一 一，、 一仓匀 将式 和 相乘 ， 得到 丁 ， 矛 ， 二 一 。 ， 二 ， 二 一 ， 竿 ‘· ， · 其中 ， 久 为待定常数 将上述解 的实 部和 虚部分 离再相加 ， 得 其 中， 一 万 图 和 图 认 － 十 ， 为解在 。 二 ， 二 一 ， 。 ， 不‘ ， ，一 互一贡 丫 ‘ ’ 。 争 丝 土几丝 二 权 乙 ， 万， 下 七 ” 、 二 一 之 卞 二 因此 时的图像 从 图 中可以看 出 在 晶体生长过 程 中 ， 在 值较小即固液 界 面 附近 ， 温 度较 低且 振 荡幅度较 大 随 着 值的增 加 ， 温 度越 来越 高且 振 荡 也逐 渐衰减 ， 曲线 逐渐 趋 于 平 缓 并 向远 场 温 度 。 靠 近