《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 ()并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数∫有反函数，意味着f是D与f(D) 之间的一个一一映射，称为映射∫的逆映射，它把∫(D)→D: (2)函数∫与f互为反函数，并有：∫(fx)》=x,x∈D,ff(x)》=y,y∈f(D) (3)在反函数的表示x=厂y)yef(D)中，是以y为自变量，x为因变量若按习惯做法用 x做为自变量的记号，y作为因变量的记号，则函数∫的反函数可以改写为 y=f(x),x∈fD. 应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅 是所用变量的记号不同而已但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别. 六、初等函数 (一)基本初等函数(6类) 常量函数 y=C(C为常数)： 幂函数y=x(aeR) 指数函数y=(a>0,a≠1)： 对数函数 y=log.x(a>0,a≠l): 三角函数y=sinx,y=cosx,y=g,y=cg: 反三角函数 y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx 注：幂函数y=x(aeR)和指数函数y=d(a>0,a≠)都涉及乘幂，而在中学数学课程中 只给了有理指数乘幂的定义下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂 起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质. 定义2给定实数a>0,a≠1，设x为无理数，我们规定： p{口1为有理数，当a>时， a= inr{a1r为有理数}，当0<a<时. 这样解决了中学数学仅对有理数x定义的缺陷。 问题这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？”《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 8 (1) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数 f 有反函数，意味着 f 是Ｄ与 f D( ) 之间的一个一一映射，称 1 f − 为映射 f 的逆映射，它把 f D D ( ) → ； (2) 函数 f 与 1 f − 互为反函数，并有: 1 f f x x x D ( ( )) , , −   1 f f x y y f D ( ( )) , ( ). −   (3) 在反函数的表示 1 x f y y f D ( ), ( ) − =  中，是以 y 为自变量， x 为因变量.若按习惯做法用 x 做为自变量的记号， y 作为因变量的记号，则函数 f 的反函数 1 f − 可以改写为 1 y f x x f D ( ), ( ) − =  . 应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅 是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别. 六、初等函数 （一）基本初等函数（６类） 常量函数 y C= （Ｃ为常数）； 幂函数 y x R ( )  =  ； 指数函数 ( 0, 1) x y a a a =   ； 对数函数 log ( 0, 1) a y x a a =   ； 三角函数 y x y x y tgx y tgx = = = = sin , cos , , c ； 反三角函数 y x y x y arctgx y arcctgx = = = = arcsin , arccos , , . 注：幂函数 y x R ( )  =  和指数函数 ( 0, 1) x y a a a =   都涉及乘幂，而在中学数学课程中 只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一 起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质. 定义 2 给定实数 a a   0, 1 ，设 x 为无理数，我们规定：     sup | , 1 | , 0 1 r x r x r a r a a a r a     =      r<x 为有理数 当 时, inf 为有理数 当 时. 这样解决了中学数学仅对有理数ｘ定义 x a 的缺陷． 问题 这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？