《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 解周定少，为解“ 2,令e2=:,方程变为 2y=z2-1 2-2y-1=0 =生广灯（舍去-广+1） 得x=My+厂+)，即y=Mx+F+)=h(),称为反双曲正弦 定理给定函数y=f(),其定义域和值域分别记为X和Y,若在Y上存在函数g(),使 得f(x》=x,则有g)=f). 分析：要证两层结论：一是y=)的反函数存在，我们只要证它是1-1对应就行了：二 是要证(0)=). 证要证=的反函数存在，只要证)是X到y的1一1对应， Y,∈X,若)=f),则由定理条件，我们有 gG》=x,8f,》=→为=x,即f:X→y是1-1对应. 再证0)=f广).YyeY,3x∈X,使得y=).由反函数定义x=广户'0)，再由定 理条件 g(y)=g(f(x))=x=g()=f(y). 例f:R→R,若fx》存在唯一（引）不动点，则f(x)也引不动点. 证存在性：设x=几/x】,fx)=f.几fx'1, 即fx)是·∫的不动点，由唯一性fx)=x,即存在)的不动点x 唯一性：设=f团，=国=f(国》，说明x是ff的不动点，由唯一性，x=x。 从映射的观点看函数 设函数y=fx,xeD.满足：对于值域f(D)中的每一个值y,D中有且只有一个值x,使 得(x)=y,则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数，称这个函数为∫的反函数，记作 f:fD)→D,y→x)或x=y),y∈fD) 3、注释 《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 7 解 固定 y ，为解 2 x x e e y − − = ，令 e z x = ，方程变为 2 1 2 zy = z − 2 1 0 2 z − zy − = 1 2 z = y  y + ( 舍去 1 2 y − y + ) 得 ln( 1) 2 x = y + y + ，即 ln( 1) ( ) 2 1 y x x sh x − = + + = ，称为反双曲正弦. 定理 给定函数 y = f (x) ，其定义域和值域分别记为 X 和 Y ，若在 Y 上存在函数 g( y) ，使 得 g( f (x)) = x , 则有 ( ) ( ) 1 g y f y − = . 分析： 要证两层结论：一是 y = f (x) 的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；二 是要证 ( ) ( ) 1 g y f y − = . 证 要证 y = f (x) 的反函数存在，只要证 f (x) 是 X 到 Y 的 1-1 对应.  1 x ， x2  X ，若 ( ) ( ) 1 2 f x = f x ， 则由定理条件，我们有 1 1 g( f (x )) = x , 2 2 g( f (x )) = x 1 2  x = x ，即 f : X →Y 是 1-1 对应. 再证 ( ) ( ) 1 g y f y − = . y Y ， x X ，使得 y = f (x) .由反函数定义 ( ) 1 x f y − = ，再由定 理条件 g( y) = g( f (x)) = x ( ) ( ) 1 g y f y −  = . 例 f : R → R，若 f ( f (x)) 存在唯一（ | ）不动点，则 f (x) 也 | 不动点. 证 存在性: 设 [ ( )] * * x = f f x ， ( ) [ ( )] * * f x = f  f f x ， 即 ( ) * f x 是 f  f 的不动点，由唯一性 * * f (x ) = x ，即存在 f (x) 的不动点 * x . 唯一性：设 x = f (x)， x = f (x) = f ( f (x)) ，说明 x 是 f  f 的不动点，由唯一性， x = * x . 从映射的观点看函数. 设函数 y f x x D =  ( ), .满足：对于值域 f D( ) 中的每一个值 y ，Ｄ中有且只有一个值 x ，使 得 f x y ( ) = ，则按此对应法则得到一个定义在 f D( ) 上的函数，称这个函数为 f 的反函数，记作 1 f f D D y x : ( ) ,( | ) − → → 或 1 x f y y f D ( ), ( ) − =  . 3、注释