·708· 智能系统学报 第13卷 理论应用于工业控制中，实现了对锅炉和蒸汽机 D=0,1;f:D→D称为逻辑函数；L∈Mx,称 的模糊控制，使模糊控制从理论走向实际应用。 L为逻辑矩阵，如果Col(L)c4mm×r维逻辑矩阵全 1985年，日本学者Takagi等又提出了以线性精 体记为Lmx;设矩阵L∈Mxr。其中，Col(L)C4n,称 确数学表达式为模糊规则后件的T-S模糊模型， L为逻辑矩阵，可简记为L=6ii2…:矩阵 将模糊控制系统与线性控制系统有效地结合起 B∈Mxn为布尔矩阵，如果B中(b)∈D,m×n 来。随后国内外学者基于T-S模糊模型，研究了 维布尔矩阵全体记为Bmm。 非线性系统的大量控制问题，得到了丰富的模糊 1.2模糊动态模型 控制理论研究成果4。在TS模糊模型的基础 模糊动态模型是非线性复杂系统模糊建模中 上，Feng等s提出了模糊动态模型(fuz四y dynam- 一种典型的模糊建模方法。模糊动态模型每条规 ical model)。其主要思想是，构造一组线性模型， 则的后件部分是一种状态空间形式的局部线性系 分别描述系统的动态特性，通过局部线性模型的 统，因此对于局部的线性模型可以采用线性系统 加权组合得到系统的全局非线性动态模型。文 的理论体系去研究，然后通过模糊推理得到全局 献[10]中提出了一种离散时间模糊控制系统，将 意义下的模糊控制系统的分析和设计。 非线性离散时间系统作为模糊控制系统的后件部 一个m个输入n个输出的非线性系统，其模糊 分，分析了系统的动态性能。 s控制器可表示为∑∈fy1×y2…×yn×x1×…×xm), 1969年，Kauffman!首先提出布尔网络模型， 其中{x是模糊控制器的输入，论域为E,y是模糊 布尔网络是关于布尔状态变量的一种简单的逻辑 控制器的输出，论域为E,。将模糊变量x,y按照隶 动力系统，是当前学者专家们共同关心的热点问 属度函数进行模糊化，E。={x,,…,,i=1,2,…,m 题。针对布尔网络研究缺少有效的数学工具问 分别对应于“负大”“负中”…是基于隶属度的模糊 题，程代展教授在文献[12]中首次提出矩阵半张 集合；E,=,,…=1,2,…,n,分别对应于 量积方法。这种方法将逻辑运算转换成代数运 “负大“负中”.…是基于隶属度的模糊集合。 算，使得许多经典的处理量变过程的数学工具可 假设总共有N条模糊规则，则第k条模糊规则 直接用来分析逻辑动态系统。在文献[13]中，程 为R,k=1,2,·,N,其模糊规则为 代展教授将这种方法应用于布尔网络，将逻辑动 Re:if x is Au,x is Az,.,xmis Amk 态控制系统转化为普通离散时间系统，提出了一 yk=pd+px1+…+pax+…pmm 系列关于布尔网络的新理论。随后在文献[14-17刀 (1) 中研究了布尔网络系统的能控能观性等性质，形 Then yk=P+pkx+…+px+…pikXm 成了布尔控制网络分析设计的完整理论框架。之 后，学者们在控制理论方面对线性布尔网络系统 yt=p6+px1+…+pax+…Pik m 做了大量的深入研究1⑧2)，但是没有针对非线性 式中：A*是一个模糊集合；y是第k条模糊规则的 布尔网络系统进行分析和研究。 第j个输出，广=1,2，…，n;p是第k条模糊规则结论 为了解决非线性布尔网络的数学建模与分析 中第j个输出的线性多项式函数中变量x项的 问题，利用模糊动态模型的非线性特点，将模糊 系数，一般为常数项，特别的p通常可以归一化 动态模型和布尔控制网络相结合，建立了模糊动 为1。 态布尔网络系统的局部模型和全局模型，并且分 对于第k条规则R,如果已知输入x=, 别分析了系统局部模型和全局模型的能控性、能 2=x,…,xm=x,则在结论部分的输出y可以由 观性和稳定性。 线性多项式函数计算得到： yt=pi+px+…+Pm (2) 1预备知识 每条规则的激活度4为 1.1数学符号说明 h=HA.(x）N4A(g)A…AA(x) 为了叙述方便，文中用到的记号列表如下： Mmn表示所有m×n矩阵的集合，⑧表示矩阵的张量 4=uA(x)uA(x)A…AμA(x) (3) 积；Col(A)Row(A)为矩阵A的列（行）集合； Col(A)Row(A:》为矩阵A的第i列（行）；记8是单位 w=Law(r)A4A()Λ…ΛμAe() 矩阵Ln的第i列；4n={8i=1,2,…,n;D={0,1,… 式中：μa()表示论域中第个元素对A的隶属度， k-1,k≥2。记逻辑变量：真~T-1,假~F-0,则 人是取小运算。理论应用于工业控制中，实现了对锅炉和蒸汽机 的模糊控制，使模糊控制从理论走向实际应用。 1985 年，日本学者 Takagi 等 [3]又提出了以线性精 确数学表达式为模糊规则后件的 T-S模糊模型， 将模糊控制系统与线性控制系统有效地结合起 来。随后国内外学者基于 T-S 模糊模型，研究了 非线性系统的大量控制问题，得到了丰富的模糊 控制理论研究成果[4-9]。在 T-S 模糊模型的基础 上，Feng 等 [5-6]提出了模糊动态模型 (fuzzy dynam￾ical model)。其主要思想是，构造一组线性模型， 分别描述系统的动态特性，通过局部线性模型的 加权组合得到系统的全局非线性动态模型。文 献[10]中提出了一种离散时间模糊控制系统，将 非线性离散时间系统作为模糊控制系统的后件部 分，分析了系统的动态性能。 1969 年，Kauffman[11]首先提出布尔网络模型， 布尔网络是关于布尔状态变量的一种简单的逻辑 动力系统，是当前学者专家们共同关心的热点问 题。针对布尔网络研究缺少有效的数学工具问 题，程代展教授在文献[12]中首次提出矩阵半张 量积方法。这种方法将逻辑运算转换成代数运 算，使得许多经典的处理量变过程的数学工具可 直接用来分析逻辑动态系统。在文献[13]中，程 代展教授将这种方法应用于布尔网络，将逻辑动 态控制系统转化为普通离散时间系统，提出了一 系列关于布尔网络的新理论。随后在文献[14-17] 中研究了布尔网络系统的能控能观性等性质，形 成了布尔控制网络分析设计的完整理论框架。之 后，学者们在控制理论方面对线性布尔网络系统 做了大量的深入研究[18-23] ，但是没有针对非线性 布尔网络系统进行分析和研究。 为了解决非线性布尔网络的数学建模与分析 问题，利用模糊动态模型的非线性特点，将模糊 动态模型和布尔控制网络相结合，建立了模糊动 态布尔网络系统的局部模型和全局模型，并且分 别分析了系统局部模型和全局模型的能控性、能 观性和稳定性。 1 预备知识 1.1 数学符号说明 Mm×n m×n ⊗ Col(A)(Row(A)) A Col(Ai)(Row(Ai)) A i δ i n In i ∆n = { δ i n |i = 1,2,··· ,n } Dk = {0,1,··· , k−1}, k ⩾ 2 ∼ T −1 ∼ F −0 为了叙述方便，文中用到的记号列表如下： 表示所有 矩阵的集合， 表示矩阵的张量 积 ； 为矩阵 的 列 ( 行 ) 集合； 为矩阵 的第 列 (行)；记 是单位 矩阵 的第 列 ； ； 。记逻辑变量：真 ，假 ，则 D = {0,1} f : Dn → D L ∈ Mn×r L Col(L) ⊂ ∆m,m×r Lm×r L ∈ Mn×r Col(L) ⊂ ∆n, L L = δn [ i1 i2 ··· ir ] B ∈ Mm×n (bi, j) ∈ D,m×n Bm×n ； 称为逻辑函数； ,称 为逻辑矩阵，如果 维逻辑矩阵全 体记为 ；设矩阵 。其中， 称 为逻辑矩阵，可简记为 ；矩阵 为布尔矩阵，如 果 B 中 维布尔矩阵全体记为 。 1.2 模糊动态模型 模糊动态模型是非线性复杂系统模糊建模中 一种典型的模糊建模方法。模糊动态模型每条规 则的后件部分是一种状态空间形式的局部线性系 统，因此对于局部的线性模型可以采用线性系统 的理论体系去研究，然后通过模糊推理得到全局 意义下的模糊控制系统的分析和设计。 Σ ∈ f(y1 ×y2 ··· ×yn × x1 × x2 ··· × xm) {xi} Exi {yi} Eyj xi , yj Exi = {x i 1 , x i 2 ,··· , x i αi },i = 1,2,··· ,m ··· Eyj = {y j 1 , y j 2 ,··· , y j βj },j = 1,2,··· ,n, ··· 一个 m 个输入 n 个输出的非线性系统，其模糊 s 控制器可表示为 ， 其中 是模糊控制器的输入，论域为 , 是模糊 控制器的输出，论域为 。将模糊变量 按照隶 属度函数进行模糊化, ， 分别对应于“负大”“负中” 是基于隶属度的模糊 集合； 分别对应于 “负大”“负中” 是基于隶属度的模糊集合。 N k Rk k = 1,2,··· ,N 假设总共有 条模糊规则，则第 条模糊规则 为 , ，其模糊规则为 Rk : if x1 is A1k , x2 is A2k ,··· , xm is Amk Then    y1k = p 1 0k + p 1 1k x1 +···+ p 1 ik xi +··· p 1 mk xm . . . yjk = p j 0k + p j 1k x1 +···+ p j ik xi +··· p j mk xm . . . ynk = p n 0k + p n 1k x1 +···+ p n ik xi +··· p n mk xm (1) Aik yjk k j j = 1, 2,··· , n p j ik k j xi p j 0k 式中： 是一个模糊集合； 是第 条模糊规则的 第 个输出， ； 是第 条模糊规则结论 中第 个输出的线性多项式函数中变量 项的 系数，一般为常数项，特别的 通常可以归一化 为 1。 k Rk x1 = x ∗ 1 , x2 = x ∗ 2 , ··· , xm = x ∗ m , yjk 对于第 条规则 ，如果已知输入 则在结论部分的输出 可以由 线性多项式函数计算得到： y ∗ jk = p j 1k x ∗ 1 + p j 2k x ∗ 2 +···+ p j mk x ∗ m (2) 每条规则的激活度 µi为    µ1 = µA11 (x ∗ 1 )∧µA21 (x ∗ 2 )∧ ··· ∧µAm1 (x ∗ m ) . . . µk = µA1k (x ∗ 1 )∧µA2k (x ∗ 2 )∧ ··· ∧µAmk (x ∗ m ) . . . µN = µA1N (x ∗ 1 )∧µA2N (x ∗ 2 )∧ ··· ∧µAmN (x ∗ m ) (3) µAik (x ∗ i ) i Aik ∧ 式中： 表示论域中第 个元素对 的隶属度， 是取小运算。 ·708· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷