第5期 吕红丽，等：非线性布尔网络系统模糊建模与动态性能分析 ·709· 模糊动态模型的输出y是由所有k条规则 2)布尔控制网络是指一个含有输入输出的布 (k=1,2,…,N)的输出y加权平均得到的。模型的 尔网络，其动态方程为 输出为 x(t+1)=f(x(t),(t),…,x(t0),4(t),…,wm(t) x2(t+1)=f2(x1(t),x(t),…,xn(t),41(t),…,um(t) y k=1 (9) Y,= (4) N xn(t+1)=f(1(),x2(0),…,xn(),u1(),…,4m(t》 = y(t)=h(x(0,x(),…,x(t) 一般取∑4=1，则式(4)全局模型输出简化 式中：x,()eD,i=1,2,…,n为状态变量；u(0∈ k= 为Y,=Σ4y。 D,i=1,2,…,m为控制变量；y(0∈D,i=1,2,…,p为 k= 输出变量；f:D+m→D,i=1,2,…,;h:D→D,i= 1.3逻辑的矩阵表示 矩阵的半张量积是中科院系统所程代展教授 1,2,…,p为逻辑函数。 在文献[12]中提出的一种新的矩阵乘法，即设 在向量表达式下令x=1x=:及y=y, 利用定理1可知： A∈Mnxn,B∈Mpxg: 定理2，利用向量表达式 1)如果n=p,则称A与B满足等维数关系； 2)果n=tp(记为A>,B),或者t=p(记A<,B), 1)布尔网络的动态方程式(8)可表示为 X(t+1)=LX(t),L∈Cx2x (10) 则称A与B满足倍维数关系，否则称一般维数关系。 2)布尔控制网络的动态方程式(9)可表示为 矩阵乘积在倍维数关系下的一种推广如定义1。 定义11】设x为n=pg维行向量，Y为p维 X(t+1)=LU(o)X() (11) Y(t=HX(t) 列向量。将X等分成X=(X,,…,X),这里 式中：L∈Ca,H∈C2x,L、H称为结构矩阵。 XeR,i=1,2,…,p。那么，x和y的半张量积记作 XY,定义为一个行向量： 2非线性布尔网络系统的基本概念 XoY=>X'yER (5) 定义31)一个多输入多输出的非线性布尔 网络系统可以表示成模糊动态布尔网络模型 类似的， (fuzzy dynamic Boolean network model,FDBNM), Y-XT=>yX)ER (6) R:if a is F and…aisF…zn is F Then ()1.2..n (12) 为一列向量。 Y(t)=HiX(t) 普通矩阵乘法是半张量积的特殊形式，普通 简记为 矩阵乘法具有的性质，对于半张量积几乎都成 R:if z is F and…aisF…zn is F (13) 立，此外还具有一些特有的性质。 Then LM=[u(z).(L,Hg)],k=1,2....,n 定理11设fx,,…,x)为一个逻辑函数， 2)第k个FDBNM为 (14) 在向量形式下f:42→4则存在唯一的逻辑矩阵 FDBNMLM=H(),(L,He)] 式中：4(z)是模糊推理集合F的隶属函数；Ft= M,∈C22,称为f的结构矩阵，使得 fx1,2,…,xn)=MrPx (7) aF5A(因)=))A…入4∑A4( 式中x=。常用的逻辑算子及其结构矩阵分 (L,H)为局部模型的结构矩阵，(Lk,H)也称为 别为 M=62[1222],Mv=62[1112], FDBNM的第k个子系统。 M=62[1211],M-=62[2112]. 这里，R,k=1,2,…,N为系统的第k条模糊规 1.4布尔（控制）网络 则，也称为第k个模糊子系统，N为总的模糊规则 定义211)布尔网络的动态方程为 数；1,2，…zn为规则前件语言变量；F为模糊集， x1(t+1)=f(x1(t),x2(t),·,xn(t) 其隶属度函数设为三角形函数，记作； x2(t+1)=f(x1(0,2(),…,x(t) (Xt+1),Y()是系统的输出；U)是输出部分布尔 (8) 控制网络的控制变量；(L,H)为系统的结构矩阵。 x(t+1)=fn(x1(0),x(0,…,x() 对给定的输入信号1=，2=分，…，=0，利 式中：：D+m→D,i=1,2,…,:为逻辑函数；x()∈ 用三角形隶属函数将其模糊化，对每条规则的激 D,i=1,2,…,n为状态变量。 活度μ()采用max-min方法：yj k k = 1, 2,··· , N y ∗ jk 模糊动态模型的输出 是由所有 条 规 则 ( ) 的输出 加权平均得到的。模型的 输出为 Yj = ∑N k=1 µk · y ∗ jk ∑N k=1 µk (4) ∑N k=1 µk = 1 Yj = ∑N k=1 µk · y ∗ jk 一般取 ，则式 (4) 全局模型输出简化 为 。 1.3 逻辑的矩阵表示 A ∈ Mm×n, B ∈ Mp×q 矩阵的半张量积是中科院系统所程代展教授 在文献[12]中提出的一种新的矩阵乘法，即设 ： 1) 如果n = p,则称 A 与 B 满足等维数关系； n = tp A≻tB nt = p A≺tB A B 2) 果 (记为 )，或者 (记 )， 则称 与 满足倍维数关系，否则称一般维数关系。 矩阵乘积在倍维数关系下的一种推广如定义 1。 X n = pq Y p X = (X 1 , X 2 , ··· , X p ) X i ∈ R q ,i = 1,2,··· , p X Y X▷Y 定 义 1 [ 1 3 ] 设 为 维行向量 , 为 维 列向量。 将 X 等分成 ，这里 。那么， 和 的半张量积记作 ,定义为一个行向量： X▷Y = ∑p i=1 X i yi ∈ R q (5) 类似的， Y T ▷ X T = ∑p i=1 yi(X i ) T ∈ R q (6) 为一列向量。 普通矩阵乘法是半张量积的特殊形式，普通 矩阵乘法具有的性质，对于半张量积几乎都成 立，此外还具有一些特有的性质。 f(x1, x2,··· , xn) f : ∆2 n → ∆ Mf ∈ L2×2 n f 定理 1 [13] 设 为一个逻辑函数， 在向量形式下 则存在唯一的逻辑矩阵 ，称为 的结构矩阵，使得 f(x1, x2,··· , xn) = Mf ▷ x (7) x = ▷ n i=1 式中 xi。常用的逻辑算子及其结构矩阵分 别为 M∧ = δ2[1 2 2 2], M∨ = δ2[1 1 1 2], M→ = δ2[1 2 1 1], M∨ = δ2[2 1 1 2]. 1.4 布尔 (控制) 网络 定义 2 [13] 1) 布尔网络的动态方程为    x1(t+1) = f1(x1(t), x2(t),··· , xn(t)) x2(t+1) = f2(x1(t), x2(t),··· , xn(t)) . . . xn(t+1) = fn(x1(t), x2(t),··· , xn(t)) (8) fi : Dn+m → D,i = 1,2,··· ,n; xi(t) ∈ D, i = 1,2,··· ,n 式中： 为逻辑函数； 为状态变量。 2) 布尔控制网络是指一个含有输入输出的布 尔网络，其动态方程为    x1(t+1) = f1(x1(t), x2(t),··· , xn(t),u1(t), ··· ,um(t)) x2(t+1) = f2(x1(t), x2(t),··· , xn(t),u1(t), ··· ,um(t)) . . . xn(t+1) = fn(x1(t), x2(t),··· , xn(t),u1(t), ··· ,um(t)) yj(t) = hj(x1(t), x2(t),··· , xn(t) (9) xi(t) ∈ D, i = 1,2,··· ,n ui(t) ∈ D,i = 1,2,··· ,m yi(t) ∈ D,i = 1,2,··· , p fi : Dn+m → D,i = 1,2,··· ,n; hi : Dn → D,i = 1,2,··· , p 式中： 为状态变量； 为控制变量； 为 输出变量； 为逻辑函数。 x = ▷ n i=1 xi、u = ▷ m i=1ui y = ▷ p i=1 在向量表达式下令 及 yi， 利用定理 1 可知： 定理 2 [13] 利用向量表达式 1) 布尔网络的动态方程式 (8) 可表示为 X(t+1) = LX(t), L ∈ L2 n×2 n (10) 2) 布尔控制网络的动态方程式 (9) 可表示为 { X(t+1) = LU(t)X(t) Y(t) = HX(t) (11) L ∈ L2 n×2 n ,H ∈ L2 p×2 式中： n ,L、H 称为结构矩阵。 2 非线性布尔网络系统的基本概念 定义 3 1) 一个多输入多输出的非线性布尔 网络系统可以表示成模糊动态布尔网络模型 (fuzzy dynamic Boolean network model，FDBNM)，即 R k : if z1 is F k 1 and ··· zi is F k i ··· zn is F k n Then { X(t+1) = LkU(t)X(t) Y(t) = HkX(t) , k = 1, 2,··· , n (12) 简记为 R k : if z1 is F k 1 and ··· zi is F k i ··· zn is F k n Then LMk = [ µk(z), (Lk , Hk)], k = 1, 2,··· , n (13) 2) 第 k 个 FDBNM 为 FDBNMLMk = [ µk(z),(Lk , Hk)] (14) µk (z) F k F k = ∏n i=1 F k i , µk (z) = µF k 1 (z 1 )∧µF k 2 (z 2 ) ∧ ··· ∧ µFk n (z m ), ∑N k=1 µk (z) (Lk , Hk) (Lk , Hk) k 式中： 是模糊推理集合 的隶属函数； ； 为局部模型的结构矩阵， 也 称 为 FDBNM 的第 个子系统。 Rk , k = 1,2,··· ,N k k z1,z2,···zn F k i µF k i (X(t+1),Y(t)) U(t) (Lk , Hk) 这里, 为系统的第 条模糊规 则，也称为第 个模糊子系统，N 为总的模糊规则 数 ； 为规则前件语言变量； 为模糊集， 其隶属度函数设为三角形函数，记作 ； 是系统的输出； 是输出部分布尔 控制网络的控制变量； 为系统的结构矩阵。 z1 = z ∗ 1 , z2 = z ∗ 2 , ··· , zn = z ∗ n , µk(z) 对给定的输入信号 利 用三角形隶属函数将其模糊化，对每条规则的激 活度 采用 max-min 方法： 第 5 期 吕红丽，等：非线性布尔网络系统模糊建模与动态性能分析 ·709·