第2期 金路,等:一阶线性微分方程组的一种解法 由此可解出x=“(C+(x)“d),其中C是任意常数(=12,从而y=r就是原方程 组的通解 但在实际操作时,常常遇到复特征值的情况,从而在求实值函数的解时,复数运算会带来不必要的 麻烦,求特征向量更增加困难而利用待定系数法,运算过程也比较繁琐,因此寻找简便易行的方法,在 教学实践和实际应用中很有必要 2解法的理论基础 引理1齐次线性微分方程组 的通解为 C:cosBr-Ca sinAr 其中C1,C2是任意常数 直接验证便可得这个引理 定理1设实矩阵A=()的复特征值为土识(0,记“=(0) ,V-B(A-al)u, T=(u,v) 则齐次线性微分方程一y的通解为y一其中:是齐次线性微分方出一(=的通解即 aC: cosp.:sinAr 其中C1,C2是任意常数 正32的实+(C的有一对其复值主(0注,与( 相同的特征值,因此满足 det(a-A)=a2-(a+d)A+ad-bc=det 由此得到a+d=2a,ad-bc=a2+B 进一步,求出相应的实向量对(a,v),满足 A(u, v)=(u,v( (A-al)u-pv=0. jB2+(A-a)2u=0, V=B(A-al)u 注意 2-2a+bc+a2+p2 921+(A-a1)2= (a+d-2a) d-2ad-+bcta+B2 d2-2ad -+bc+ad-bc 00 若c=0,则A是实上三角矩阵,因此A的特征值是实数,与假设矛盾,于是可简单取“=0)