§123热传导方程 ★△时间内沿y方向流入六面体的热量 -u △x△z△t=k△x△y△z△t ★在△时间内沿z方向流入六面体的热量 q)2-(q-)+△3]△z△△t=k2△x△y△△ 如果六面体内没有其他热量来源或消耗,则根据能量守恒定律,净流入的热量应该等于介质在 此时间内温度升高所需要的热量, dr2 ay 2 az △x△y△z△t=p△x△y 所以 其中p是介质的密度,c是比热容 k/pc,则有 其中称为扩散率,或温度传导率 位体积介质中产生的热量为F(x,y,2,1,应发生,或通有电流, 如果在介质内有热量产生(例如,有化学反 ,单位时间内单 kvu△x△y△z△t+F(x,y,z,t)△r△y△z△t=p△r△y△z:c:△u (, y, z, t)=f(a, y, z, t) 如果介质不均匀,则导热率k与坐标(x,y,2)有关.这时,热传导方程就变为 V·(kVu)=F(x,y,2,t) 热传导方程的另一种形式令j=pcu,称为热流(强度),则 +v F(a, y,z, t) 这个方程常称为连续性方程 如果是各向异性介质,则 Fourier定律应改写成 K. Vu§12.3 热 传 导 方 程 第 7 页 F ∆t时间内沿y方向流入六面体的热量 h (qy)y − (qy)y+∆y i ∆x∆z∆t = k ∂ 2u ∂y2 ∆x∆y∆z∆t, F 在∆t时间内沿z方向流入六面体的热量 £ (qz)z − (qz)z+∆z ¤ ∆x∆y∆t = k ∂ 2u ∂z2 ∆x∆y∆z∆t. 如果六面体内没有其他热量来源或消耗，则根据能量守恒定律，净流入的热量应该等于介质在 此时间内温度升高所需要的热量， k µ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 + ∂ 2u ∂z2 ¶ ∆x∆y∆z∆t = ρ∆x∆y∆z · c · ∆u. 所以 ∂u ∂t − k ρc ∇ 2 u = 0, 其中ρ是介质的密度，c是比热容． 令κ = k/ρc，则有 ∂u ∂t − κ∇ 2 u = 0, 其中κ称为扩散率，或温度传导率． 如果在介质内有热量产生(例如，有化学反应发生，或通有电流，· · · · · ·)，单位时间内单 位体积介质中产生的热量为F(x, y, z, t)，则有 k∇ 2 u∆x∆y∆z∆t + F(x, y, z, t)∆x∆y∆z∆t = ρ∆x∆y∆z · c · ∆u, ∂u ∂t − κ∇ 2 u = 1 ρc F(x, y, z, t) = f(x, y, z, t). 如果介质不均匀，则导热率k与坐标(x, y, z)有关．这时，热传导方程就变为 ρc ∂u ∂t − ∇ · (k∇u) = F(x, y, z, t). 热传导方程的另一种形式 令j = ρcu，称为热流(强度)，则 ∂j ∂t + ∇ · q = F(x, y, z, t). 这个方程常称为连续性方程． 如果是各向异性介质，则Fourier定律应改写成 q = −K · ∇u