§123热传导方程 第6页 §123热传导方程 推导热传导方程所用的数学方法和上面的完全相同.不同之处在于具体的物理规律 不同.这里用到的是热学方面的两个基本规律,即 能量守恒定律和热传导的 Fourier定律 热传导的 Fourier定律设有一块连续介质.取定一定坐标系,并用u(x,y,z,t)表示介质内 空间坐标为(x,y,2)的一点在时刻的温度.若沿x方向有一定的温度差,在x方向也就一定有热 量的传递,从宏观上看,单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的空间变化率成 正比,即 q称为热流密度,k称为导热率 k与介质的质料有关,而且,严格说来,与温度u也有关系.但如果温度的变化范围 不大,则可以近似地将k看成与u无关 上面公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反,即热量由高温流向低温 研究三维各向同性介质中的热传导,在介质中三个方向上都存在温度差,则有 Ox’qy=-k 或 即热流密度矢量q与温度梯度Vu成正比 根据 Fourier定律和能量守恒定律推导均匀各向同性介质中的热传导方程. 在介质内部隔离出一个平行六面体(见图123),六个面都和坐标面重合 图123热传导方程 位于(x,y,2)点的小六面体 ★△时间内沿x方向流入六面体的热量 qx)2-(q)2+△]△y△z△t=(k △y△z△t 0x)x+ ax2§12.3 热 传 导 方 程 第 6 页 §12.3 热 传 导 方 程 推导热传导方程所用的数学方法和上面的完全相同．不同之处在于具体的物理规律 不同．这里用到的是热学方面的两个基本规律，即 能量守恒定律 和 热传导的Fourier定律． 热传导的Fourier定律 设有一块连续介质．取定一定坐标系，并用u(x, y, z, t)表示介质内 空间坐标为(x, y, z)的一点在t时刻的温度．若沿x方向有一定的温度差，在x方向也就一定有热 量的传递．从宏观上看，单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的空间变化率成 正比，即 q = −k ∂u ∂x, q称为热流密度，k称为导热率． k与介质的质料有关，而且，严格说来，与温度u也有关系．但如果温度的变化范围 不大，则可以近似地将k看成与u无关． 上面公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反，即热量由高温流向低温． 研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上都存在温度差，则有 qx = −k ∂u ∂x, qy = −k ∂u ∂y , qz = −k ∂u ∂z , 或 q = −k∇u, 即热流密度矢量q与温度梯度∇u成正比． 根据Fourier定律和能量守恒定律推导均匀各向同性介质中的热传导方程． 在介质内部隔离出一个平行六面体(见图12.3)，六个面都和坐标面重合． 图12.3 热传导方程 位于(x, y, z)点的小六面体 F ∆t时间内沿x方向流入六面体的热量 £ (qx)x − (qx)x+∆x ¤ ∆y∆z∆t = h µ k ∂u ∂x¶ x+∆x − µ k ∂u ∂x¶ x i ∆y∆z∆t = k ∂ 2u ∂x2 ∆x∆y∆z∆t