《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 ” 收敛，故对任何正数5与M心小，总相应地存在某个x>0,使得 -6南-8<得+ ，即有。“ 四严~>加-62-6 了9的在0树上不一致效数 所以。 (三)、一致收敛的充要条件 定理19.8含参量的反常积分(1)在a,上一致收敛的充要条件是：对任 趋于+0的递增数列4，}（其中A=C),函数项级数 直 在a,上一致收敛. 证[必要性]由(1)在，上一致收敛，故对任给的正数6，必存在M>c, 使当A”>A>M时，对一切x∈a,b总有 「rx,y<e (8) 又由A,→+∞(1→)，所以对正数M,存在正整数N,只要m>n>N时，就 有4>A>M.由(8)对一切xe血，就有 这就证明了级数(7)在上一致收敛. 3 《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 3 0 sin    + A dy y xy ， 因  + 0 sin du u u 收敛，故对任何正数 0  与 M( c) ，总相应地存在某个 x  0 ，使得 0 0 sin sin −     + + du u u du u u Mx ，即有 −   + 0 0 sin du  u u   + Mx du u sin u 0 0 sin +   + du u u ， 令 2 1  0 =  + 0 sin du u u >0,则可得   + M dy y sin xy  + Mx du u sin u 0 0 0 0 0 2 sin  − =  − =   + du u u ， 所以  + 0 sin dy y xy 在 (0,+) 上不一致收敛． （三）、一致收敛的充要条件 定理 19.8 含参量的反常积分（1）在 a,b 上一致收敛的充要条件是：对任 一趋于 + 的递增数列 An  （其中 A = c 1 ），函数项级数  ( )   = + 1 1 , n A A n n f x y dy =  ( )  n=1 n u x 在 a,b 上一致收敛． 证 [必要性]由（1）在 a,b 上一致收敛，故对任给的正数  ，必存在 M  c ， 使当 A  A  M 时，对一切 xa,b 总有 ( )      A A f x, y dy ， （8） 又由 An → + (n →) ，所以对正数 M ，存在正整数 N ，只要 m  n  N 时，就 有 Am  An  M ．由（8）对一切 xa,b ，就有 ( )+ + ( ) = ( ) + + ( )     +1 +1 , , m m n n A A A A un x  um x f x y dy  f x y dy ， 这就证明了级数(7)在上一致收敛