《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 Fromie 则称含参量的反常积分(1)在a,上一致收敛于) （二)、一致收敛的柯西准则 定理19.7含参量的反常积分(1)在[a,b月]上一致收敛的充要条件是：对任 给的正数&，总存在某个实数M>c,使得当A,A>M时，对一切x∈a,], 都有 (f(x.yldy-1(x)<5 例1证明参量的反常积分 在[6，+∞)上一致收敛（其中6>0），但在(0，+o)上不一致收敛. sin u du 证令=y,y ,其中A>0,由于 收敛，故 对任给的E>0,总存在正数M,使当A>M时就有下s M 取46>M,则当>方时，对-切≥6>0，有 严 fsnx义d 所以。y 在x之6>0上一致收敛. 义 再证。y 在0，∞)上不一致收敛.按定义只要证明：存在某一正数50， 使对任何实数M心d,总相应地存在某个A>M及某个x∈D,+）,使得《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 2 ( )    + M f x, y dy ， 则称含参量的反常积分（1）在 a,b 上一致收敛于 I(x) （二）、一致收敛的柯西准则 定理 19.7 含参量的反常积分（1）在 a,b 上一致收敛的充要条件是：对任 给的正数  ，总存在某个实数 M  c ，使得当 A1 , A2  M 时，对一切 x  a,b， 都有 ( ) − ( )    2 1 , A A f x y dy I x . 例 1 证明参量的反常积分  + 0 sin dy y xy 在  ,+) 上一致收敛（其中   0 ），但在 (0,+) 上不一致收敛． 证 令 u = xy，  + A dy y sin xy =  + Ax du u sin u ，其中 A  0 ，由于  + 0 sin du u u 收敛，故 对任给的   0 ，总存在正数 M ，使当 A  M 时就有    + A du u sin u . 取 A  M ，则当  M A  时，对一切 x    0 ，有    + A dy y sin xy ， 所以  + 0 sin dy y xy 在 x    0 上一致收敛． 再证  + 0 sin dy y xy 在 (0,+) 上不一致收敛．按定义只要证明：存在某一正数 0  ， 使对任何实数 M( c) ，总相应地存在某个 A  M 及某个 x0,+) ，使得