10.设T是欧氏空间v的一个线性变换,如果对任意的a,B∈V都有(r(a),B)=(a,T(B),则称T为V的 个线性变换.证明:欧氏空间V的一个线性变换T是对称变换的充分必要条件是T在V的任意一组标 准正交基下的矩阵是对称矩阵.(2012年北京交通大学) 11.证明:若是正交方阵A的特征根,则入也是4的特征根.(2013年北京交通大学) 12.设V为欧氏空间,记+为向量的长度,证明:对任意向量a,B∈v,|(a,S‖al·,而且,当且仅 当a,B线性相关时,等号才成立.(2014年北京交通大学) 3.设向量空间R2按照某种(不一定是通常的)内积方式构成欧氏空间,记为V2.已知V2的两组基为 且a和的内积为(a1,B1)=1,(a1,B2)=15,(a2,B1)=-1,(a2,B2)=3 (1)求基(1)的度量矩阵A (2)求基(I)的度量矩阵B (3)求欧氏空间v的一个标准正交基.(2014年北京交通大学) 14.设V是n维欧氏空间,a是V的正交变换,v1={a|(a)=aa∈V,V={别=a()-,∈V.求证 V2=Ⅵ.求中Ⅵ表示V的正交补.(2017年北京交通大学 5.已知V是n维欧氏空间,a∈V,()==).证明: (1)为线性变换 (2)为正交变换 (3)2=ε(ε为恒等变换 (4)在一组标准正交基下,对应的矩阵为A=diag-1,1,1,…,1.(2016年北京科技大学) 16.已知A是正定矩阵,且A2=E,证明:E-A是奇异的.(2017年北京科技大学) 17.V1,V为欧氏空间v的子空间,证明:dimv1+dimV2=dim(v1+V)+dm(Vi∩v).(2013年北京师 范大学) 18.设实数域R中所有2阶对称阵构成的子空间v,在V中定义内积(A,B)=tr(AB) (1)证明V关于内积(A,B)=tr(AB)是一个欧氏空间 (2)求V的一组标准正交基 (3)在V中求向量A 和B 的夹角y; (0-(00),求子空间M=B∈V(BC)=0的维数(201年连理工大学) 9.设是欧几里得空间v上的一个正交线性变换,证明:若W是a的不变子空间,则正交补W士也是a的 不变子空间.(2012年大连理工大学)10. T¥ÓºòmV òáÇ5CÜ, XJÈ?øα, β ∈ V —k(T(α), β) = (α, T(β)), K°TèV ò áÇ5CÜ. y²: ÓºòmV òáÇ5CÜT ¥È°CÜø©7á^á¥T3V ?øò|I Oƒe› ¥È°› . (2012cÆœåÆ) 11. y²: eλ0¥ê AAä, Kλ −1 0 è¥AAä. (2013cÆœåÆ) 12. V èÓºòm, Pk ? kèï˛›, y²: È?øï˛α, β ∈ V , |(α, β)| ≤k αk · kβk, Ö, Ö= α, β Ç5É'û, “‚§·. (2014cÆœåÆ) 13. ï˛òmR 2UÏ,´(ÿò½¥œ~)S»ê™§Óºòm, PèV 2 . ÆV 2¸|ƒè: (I)α1 = (1, 1), α2 = (1, −1); (II)β1 = (0, 2), β2 = (6, 12). Öαi⁄βiS»è(α1, β1) = 1, (α1, β2) = 15, (α2, β1) = −1, (α2, β2) = 3. (1)¶ƒ(I)›˛› A; (2)¶ƒ(II)›˛› B; (3)¶ÓºòmV 2òáIOƒ. (2014cÆœåÆ) 14. V ¥nëÓºòm, σ¥V CÜ, V1 = {α|σ(α) = α, α ∈ V , V2 = {β|β = σ(γ) − γ, γ ∈ V . ¶y: V2 = V ⊥ 1 . ¶•V ⊥ 1 L´V1 ÷. (2017cÆœåÆ) 15. ÆV ¥nëÓºòm, α ∈ V , A (ξ) = ξ = 2(ξ,α) (α,α) . y²: (1)A èÇ5CÜ; (2)A èCÜ; (3)A 2 = ε(εèðCÜ); (4)3ò|IOƒe, A ÈA› èA = diag−1, 1, 1, · · · , 1. (2016 cÆâEåÆ) 16. ÆA¥½› , ÖA2 = E, y²: E − A¥¤…. (2017cÆâEåÆ) 17. V1, V2èÓºòmV fòm, y²: dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2) + dim(V1 ∩ V2). (2013 cÆì âåÆ) 18. ¢ÍçR•§k2È° §fòmV , 3V •½¬S»(A, B) = tr(AB). (1)y²V 'uS»(A, B) = tr(AB)¥òáÓºòm; (2)¶V ò|IOƒ; (3)3V •¶ï˛A = 1 1 1 1 ! ⁄B = −1 0 0 −1 ! Yϕ; (4)C = 1 0 0 0 ! , ¶fòmM = B ∈ V |(B, C) = 0ëÍ. (2011cåÎnÛåÆ) 19. A ¥ÓApòmV ˛òáÇ5CÜ, y²: eW¥A ÿCfòm, K÷W⊥è¥A  ÿCfòm. (2012cåÎnÛåÆ) 10 厦门大学《高等代数》