51.设W={(x,y,2):x+y-2z=0}sR3,求W的正交补空间.(2010年中山大学) 52.给定4维标准欧氏空间R4的一个基(1,e2,e3,e4),以此作为向量组的矩阵记为A.其中e1=(1,1,1,0),e2 (1,0,1,0),e3=(-1,0,0,1),e4=(1,-1,-1,1) (1)用正交化方法求R4的一个标准正交基; (2)求正交矩阵Q及主对角元大于零的上三角矩阵T使得A=AT.(2014年中山大学) 四证明题 1.设R为实数域,a1,a2,…,a,是n维欧氏空间n中的一线性无关向量组,其中Rn中的内积为标准内 积(a,B)=a·B,这里的向量a和都看成是1×n矩阵,用B表示(j)元为(a,a),1≤ij≤s 的s×s矩阵,对向量组a1,a2,…,a施行施密特( Schmidt)正交化过程后得到向量组,B2,…,B 证明:B=Ⅱ2其中表示向量B的长度.(2009年北京大学) i=1 2.线性变换A是对称变换,且A是正交变换,证明A是某个对合(即满足A2=E,E是单位变换).(2010年 北京大学 3.V是内积空间,,n是V中两个长度相等的向量,证明必存在某个正交变换,将变到n。(2010年北京大 学) 4.在n维欧氏空间中,证明两两夹角为钝角的向量个数最大值为n+1.(2012年北京大学) 5.在欧氏空间V中,对称变换称为”正的”,若对任意a∈V,都有(a,A(a)≤0成立当且仅当a=0时等 号成立.证明 (1)若线性变换A是正的,则A可逆 (2)若线性变换B是正的且A-B也是正的,则B-1-4-1也是正的 (3)对于任意正的线性变换A,总存在正的线性变换B,满足A+B2.(2014年北京大学) 6.用 Euclidean空间向量的夹角给出n阶正交矩阵的一般形式,给出证明.(2018年北京大学) 7.设n是欧氏空间中的一单位向量,定义(a)=a-2(n,a)n.证明: (1)是正交变换.这样的正交变换称为镜面反射; (2)如果n维欧氏空间中正交变换a以作为特征值,且属于特征值1的特征子空间v的维数为n-1, 则a一定是镜面反射.(2014年北京工业大学) 8.设y是欧氏空间V的线性变换,证明:y是正交变换的充分必要条件是对于任意a∈V,|(a)=|al (2010年北京交通大学) 9.设A,B为同阶正交矩阵,证明:若4+|B=0,则A+B=0.(2011年北京交通大学)51. W = {(x, y, z) : x + y − 2z = 0} ⊆ R3 ,¶W÷òm. (2010c•ÏåÆ) 52. â½4ëIOÓºòmR4 òáƒ(e1, e2, e3, e4) ,±däèï˛|› PèA,Ÿ•e1 = (1, 1, 1, 0), e2 = (1, 0, 1, 0), e3 = (−1, 0, 0, 1), e4 = (1, −1, −1, 1) . (1)^zê{¶R4 òáIOƒ; (2)¶› Q9ÃÈåu"˛n› T¶A = AT. (2014c•ÏåÆ) o.y²K 1. Rè¢Íç, α1, α2, · · · , αs¥nëÓºòmR n•òÇ5Ã'ï˛|, Ÿ•R n•S»èIOS »(α, β) = α · β 0 , ˘pï˛α⁄β—w§¥1 × n› , ^BL´(i, j)è(αi , αj ), 1 ≤ i, j ≤ s s × s › , Èï˛|α1, α2, · · · , αsñ1ñóA(Schmidt)zLß￾ï˛|β1, β2, · · · , βs, y²: |B| = Qs i=1 kβik 2 .Ÿ•kβikL´ï˛βi›. (2009cÆåÆ) 2. Ç5CÜA¥È°CÜ, ÖA¥CÜ, y²A¥,áÈ‹(=˜vA2 = E, E¥¸†CÜ). (2010c ÆåÆ) 3. V ¥S»òm, ξ, η¥V •¸á›Éï˛, y²73,áCÜ, ÚξCη. (2010cÆå Æ) 4. 3nëÓºòm•, y²¸¸Yèðï˛áÍÅåäèn + 1. (2012cÆåÆ) 5. 3ÓºòmV •, È°CÜ°è””, eÈ?øα ∈ V , —k(α, A(α)) ≤ 0§·Ö=α = 0û “§·. y²: (1)eÇ5CÜA¥, KAå_. (2)eÇ5CÜB¥ÖA − Bè¥, KB−1 − A−1è¥. (3)Èu?øÇ5CÜA, o3Ç5CÜB, ˜vA + B2 . (2014 cÆåÆ) 6. ^Euclideanòmï˛Yâ—n› òÑ/™, â—y². (2018cÆåÆ) 7. η¥Óºòm•ò¸†ï˛, ½¬A (α) = α − 2(η, α)η. y²: (1)A ¥CÜ. ˘Cܰ躰á; (2)XJnëÓºòm•CÜA ±1äèAä, Ö·uAä1AfòmV1ëÍèn − 1, KA ò½¥º°á. (2014cÆÛíåÆ) 8. ϕ¥ÓºòmV Ç5CÜ, y²: ϕ¥CÜø©7á^á¥Èu?øα ∈ V , |ϕ(α)| = |α|. (2010cÆœåÆ) 9. A, Bè”› , y²: e|A| + |B| = 0, K|A + B| = 0. (2011cÆœåÆ) 9 厦门大学《高等代数》