变分法简介 第一章广义函数简介 1.1背景知识 函数是古典分析中的基本概念之一,然而这样 的一个基本概念,随着科学的发展已不够用.下 面用几个例子加以说明. 例1.1.1(脉冲)20世纪初, Heaviside在解电 路方程时,提出了一种运算方法,称之为算子演 算.这套算法要求对如下函数 1,x≥ 求导,并把导数记为6(x).但按照经典分析的理 论,h(x)并不可导,因此6(x)不可能是普通意 义下的函数,它除了作为一个记号进行形式演算 外,在数学上是没有意义的.但是,6(x)在实际 中却是有意义的,又代表一种理想化的“瞬时”单 位脉冲 例1.1.2( Dirac符号)在微观世界中,把可观 测到的物质的状态用波函数来描述,最简单的波 函数具有形式e(x∈(-∞,+∞),A是实参数, 并考虑如下形式的积分 eiar d x 2丌J-2r 这种积分按 Cauchy积分来定义,即 ear dx= lim/eiar dx=lim I sinn入 显然,这个极限在普通意义下不存在.然而,物 理学家认为这个极限是前面所提到的6(X),并认 为是 Dirac符号.特别,在量子力学中,进一步发 展了许多关于6(A)的运算法则,并广泛地使用 例1.1.3(广义微商)在数学本身的发展中,也 时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范 围所加的限制.20世纪30年代, Sobolev为了确￾
    1.1  ￾ ￾￾

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      1.1.1() 20  Heaviside          ￾￾ h(x) = ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ 1, x ≥ 0, 0, x< 0, ￾ δ(x). ￾
￾  h(x)   δ(x) 
  ￾￾  ￾
 
 δ(x) 

  “ ”    1.1.2(Dirac ) 
 Æ ￾￾ ￾￾ eiλx(x ∈ (−∞, +∞)), λ
!￾   
1 2π  2π −2π eiλx d x.  
 Cauchy 
" 1 2π  2π −2π eiλx d x = limn→∞  n −n eiλx d x = limn→∞ 1 π sin nλ λ .  # Æ !
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Dirac $ $%
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