定微分方程解的存在性、惟一性问题,通过分部 积分公式,推广了函数可微性的概念,建立了广 义微商理论,形成了 Sobolev空间理论.这标志着 现代微分方程理论的诞生 基于上述原因,扩充函数概念,为广义函数寻 找坚实的数学基础,对数学家提出了新的挑战 20世纪40年代, Schwartz完成了这一艰巨的任 务,创立了广义函数的系统理论,并因此而获得 1950年数学最高奖一菲尔兹奖 12基本函数空间 设9是Pn的有界开集,用x=(x1,x2,…,xn) 表示Pn中的点 局部空间定义为 L(9)=∩{D(9):cc9 其中gcc9意味着9c9,且d(O0,02)>0.对 任一9上定义的函数,称集合{x∈92f(x)≠0} 的闭包为f的支集,记为 supp f 考虑上具有支集含于9的无穷可微函数空 C(9)={u∈C∞(9): suppu cs} 我们有以下重要定理 定理1.2.1C。(g)是DP(9)(1<p<∞)的稠密 子集 首先引进记号: 表示a阶的微分算子,其中la|=∑a 在讨论 Soboley空间中的函数的某些性质时, 往往先对光滑函数证明该性质,然后利用稠密性 过渡到极限,这就需要用光滑函数在某种意义下 逼近给定的函数,为此先引进磨光算子 设p(x)满足 (1)p∈C(B"
 #',(')*!
- 
"+ ￾￾'#$ , . Sobolev %&  /* +
 0- !,'1￾￾ ￾￾- .(￾2￾ /.0 20  40 ( Schwartz 1. )*/ 23$ ￾￾30 +4 1950 (￾5, — 67, 1.2   1 Ω
Rn -. x = (x1, x2, ··· , xn) 2 Rn
8 /- Lp %&" Lp loc(Ω) = {Lp (Ω ): Ω ⊂⊂ Ω}, 3
Ω ⊂⊂ Ω 4 Ω ⊆ Ω, 4 d(∂Ω , ∂Ω) > 0.  / Ω "￾￾.0 {x ∈ Ω| f(x) = 0} 9: f
,  suppf.  Ω 5.1! Ω 65￾￾% & C∞ 0 (Ω) = {u ∈ C∞(Ω) : suppu ⊆ Ω}. 7Æ 8" !" 1.2.1 C∞ 0 (Ω)
Lp(Ω)(1 <p< ∞) ;6 . 79:< Dα = Dα1 1 ··· Dαn n , Di = ∂ ∂xi , α = (α1, ··· , αn), 2 |α| 2
3
|α| = n i=1 αi. 8 Sobolev %&
￾￾9$'  ;;934￾￾<='56 ;6' !>7= 34￾￾9  ?8@"￾￾9::3 1 ρ(x) ;# (1) ρ ∈ C∞(Rn), 2