(2)uppp C B1(0) (3)/p(x)dx=1 称它为光滑子.显然这样的光滑子是存在的,例 如 cexp(x12-1)-1,若|x|<1 p(x)= 若|x|>1, 其中c为常数,满足条件 p(r)d 若取h>0,h<d(x,092),那么{h=p(xh-1)}就构成 个光滑子族.对u∈L(92),作卷积 (a(a)=”(=nm(d 称它为u的磨光算子,也称un(x)=(J)(x)为u 的均值函数(正则化函数).算子J的作用是把 函数u磨光,若在g的余集上补充定义u(x)≡0 则可以证明an(x)∈C∞(F),且当supu为有界集 时,∈C(P) 在集合C(g2)上定义收敛性如下 定义1.2.2设{ym}cCo(92),yo∈C(9),如果 (1)存在一个相对于9的紧子集Kc9,使得 (2)对于任意指标a=(a1…,an)恒有 max|D°ym(x)-D°≠0(x)→0(m→∞ x∈K 即{D°ym}在K上一致收敛于D°po 则称序列{m}在C(2)中收敛于φ.赋予上 述收敛性的线性空间C(2),称为基本函数空间 D(9) 1.3广义函数的定义和基本性质 定义1.3.1D(92)上的一切连续线性泛函都称 为广义函数即广义函数是这样的泛函f:D(92)→ R,满足(2) suppρ ⊂ B1(0), (3)  Rn ρ(x) d x = 1,  $%. 34
#  ρ(x) = ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ c exp(|x| 2 − 1)−1, < |x| < 1, 0, < |x| > 1, 3
c *￾;#=9  Rn ρ(x) d x = 1. <> h > 0,h< d(x, ∂Ω), ?@ {h−nρ(xh−1)} 7:. 34&  u ∈ L1 loc(Ω), ; (Jhu)(x) = h−n  Ω ρ( x − y h )u(y) d y,  u '$(, # uh(x)=(Jhu)(x)  u )  (*+ ).  Jh 
 ￾￾ u :3 < Ω >.A1" u(x) ≡ 0, "< uh(x) ∈ C∞(Rn), 4B suppu .  uh ∈ C∞ 0 (Rn). .0 C∞ 0 (Ω) "A<' < ! 1.2.2 1 {ϕm} ⊂ C∞ 0 (Ω), ϕ0 ∈ C∞ 0 (Ω), Æ (1) #?! Ω =. K ⊂ Ω, %4 suppϕm ⊂ K(m = 1, 2, ···); (2) !/@/ α = (α1, ··· , αn) > max x∈K |Dαϕm(x) − Dαϕ0(x)| → 0(m → ∞),  {Dαϕm}  K AA<! Dαϕ0, "B? {ϕm}  C∞ 0 (Ω)
,- ! ϕ0. CC A<'D'%& C∞ 0 (Ω),    D(Ω). 1.3  .! /0 ! 1.3.1 D(Ω) B@ED'(￾D   ,  ￾￾
(￾ f : D(Ω) → R1, ;# 3