致收敛因为0<a<b时,对积分,有xe≤x“e,而积分 [x“cdk收敛对积分,xesx'e-,而积分「x~c收敛 由M一判法它们都一致收敛→积分。x2d在区间[ab上一致收敛 作类似地讨论,可得积分(xe)dx也在区间(0,+∞)内闭一致收敛 于是可得如下结论: I(s)的连续性:I(s)在区间(0,+∞)内连续 I(s)的可导性:r(s)在区间(0,+∞)内可导,且 T'(s)=2(x-e- )dr=Dx-le"In xdx 同理可得:I(s)在区间(0,+∞)内任意阶可导,且 (s)=x-e(Inx)"dx 3.凸性与极值: r(s)="xe(lnx)2dx>0,→I()在区间(0,+)内严格下凸 r(1)=I(2)=1(参下段) r(s)在区间(0,+∞)内唯一的极限小 值点(亦为最小值点)介于1与2之间 4.(s)的递推公式T一函数表 r(s)的递推公式:r(s+1)=sI(s),(s>0). 证(s+1)=xedk=-x(e)h= x'eo +sh x-le"dx=sx"'e"dr=sr(s) r(=x-e"da 于是,利用递推公式得 r(2)=I(1+1)=(1)=1 r(3)=I(2+1)=2r(2)=21=21, r(4)=I(3+1)=3I(3)=3·2!=3!, 般地有r(n+1)=nI(n)=n(n-1)r(n-1) 可见,在Z上,I(S)正是正整数阶乘的表达式.倘定义s!=I(s+1),易见一致收敛. 因 为 时 , 对积分 , 有 , 而积分 收敛.对积分 , , 而积分 收敛. 由 M—判法,它们都一致收敛, 积分 在区间 上一致收敛 . 0 << ba ∫ 1 0 xaxs exex −− −− ≤ 1 1 ∫ −− 1 0 1 dxex xa ∫ +∞ 1 xbxs exex −− −− ≤ 1 1 ∫ +∞ −− 1 1 dxex xb ⇒ ∫ +∞ −− 0 1 dxex xs ba ],[ 作类似地讨论, 可得积分 s dxex 也在区间 xs )( 1 0 ′ −− +∞ ∫ + ∞ ) , 0 ( 内闭一致收敛. 于是可得如下结论: Γ s)( 的连续性: Γ s)( 在区间 内连续 ∞+ ) , 0 ( . Γ s)( 的可导性: Γ s)( 在区间 内可导 ∞+ ) , 0 ( , 且 ∫ ∫ + ∞ ∞ + −− −− = ∂ ∂ ′ =Γ 0 0 1 1 )()( ln dxxexdxex s s xs xs . 同理可得: Γ s)( 在区间 内任意阶可导 ∞+ ) , 0 ( , 且 . ∫ +∞ −− =Γ 0 )( 1 )( ) ln ( dxxexs n xs n 3. 凸性与极值: )( 0) ln ( 2 0 1 ′′ =Γ > ∫ +∞ −− dxxexs xs , ⇒ Γ s)( 在区间 + ∞ ) , 0 ( 内严格下凸. =Γ=Γ 1)2()1( ( 参下段 ), ⇒ Γ s)( 在区间 + ∞ ) , 0 ( 内唯一的极限小 值点( 亦为最小值点 ) 介于 1 与 2 之间 . 4. Γ s)( 的递推公式 Γ − 函数表: Γ s)( 的递推公式 : Γ=+Γ ssss > ) 0 ( ),()1( . 证 ∫ ∫ +∞ +∞ − − =+Γ −= ′ = 0 0 )1( )( dxexdxexs xs xs ∫ ∫ +∞ +∞ ∞+− −− −− +−= = Γ= 0 0 1 1 0 ssdxexsdxexsex )( xs xs xs . ∫ ∫ +∞ +∞ −− − =Γ = = 0 0 11 )1( dxedxex 1 x x . 于是, 利用递推公式得: =Γ=+Γ=Γ 1)1(1)11()2( , =⋅=Γ=+Γ=Γ ! 212)2(2)12()3( , =⋅=Γ=+Γ=Γ ! 3! 23)3(3)13()4( , …………, , 一般地有 Γ−=Γ=+Γ nnnnnn − = " = n! )1()1()()1( . 可见 , 在 + Z 上, Γ s)( 正是正整数阶乘的表达式 . 倘定义 = Γ ss + )1(! , 易见 249