四、含参瑕积分简介: ExP244-245. §2 euler积分(4时) 本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数,即r(s)和B(P,q).它们统称为 Eler积分.在积分计算等方面,它们是很有用的两个特殊函数 Gumm函数r(s)- Euler第二型积分: 1. Gamma函数:考虑无穷限含参积分 x e (s>0) 当0<s<1时,点x=0还是该积分的瑕点因此我们把该积分分为 来讨论其敛散性 s≥1时为正常积分0<s<1时,xex>0.利用非负函数积的 Cauchy判别法,注意到imx(xe-x)=1,1-s<1,→0<s<1时积分 收敛.(易见S=0时,仍用 Cauchy判别法判得积分发散).因此,s>0时积 分收敛 x2·xex=x"e-x→0,(x→+∞)对Vs∈R成立因此积 分对s∈R收敛 综上,5>0时积分xe收敛,称该积分为Edr第二型积分.Edr 第二型积分定义了S∈(0,+∞)内的一个函数,称该函数为Gamm函数,记为 r(s),即 Ts dx (s>0) 一函数是一个很有用的特殊函数 2.T-函数的连续性和可导性 r(s)在区间(0,+∞)内非一致收敛.这是因为s=0时积分发散.这里利用了 下面的结果:若含参广义积分在y∈(a,b]内收敛,但在点y=a发散,则积分 在(a,b]内非一致收敛(证明参阅:复旦教案90-4-17和18(合)P368E1) 但r(s)在区间(0,+∞)内闭一致收敛即在任何[a,b]c(0,+∞)上,r(S)四、 含参瑕积分简介: Ex P244—245. § 2 Euler 积分 ( 4 时 ) 本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即Γ s)( 和 . 它们统称为 Euler 积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数. qpB ),( 一. Gamma 函数Γ s)( —— Euler 第二型积分： 1. Gamma 函数: 考虑无穷限含参积分 , ∫ +∞ −− 0 1 dxex xs s > ) 0 ( 当 时 , 点 还是该积分的瑕点 . 因此我们把该积分分为 来讨论其敛散性 . s << 1 0 x = 0 ∫∫ +∞ + 1 1 0 ∫ 1 0 : 时为正常积分 . 时, .利用非负函数积的 Cauchy 判别法, 注意到 s ≥1 s << 1 0 0 1 > −− xs ex , 11 , 1) (lim 1 1 0 ⇒<−= −−− +→ exx s xss x < s <1 0 时积分 收敛 . (易见 时, 仍用 Cauchy 判别法判得积分发散 ). 因此, 时积 分 收敛 . ∫ 1 0 s = 0 s > 0 ∫ 1 0 ∫ +∞ 1 : ) ( , 0 对 12 1 −− exexx −+ xsxs →=⋅ x +∞→ ∀s ∈R 成立,.因此积 分 对 R 收敛. ∫ +∞ 1 s ∈∀ 综上 , 时积分 收敛 . 称该积分为 Euler 第二型积分. Euler 第二型积分定义了 s > 0 ∫ +∞ −− 0 1 dxex xs s ∈ + ∞ ) , 0 ( 内的一个函数, 称该函数为 Gamma 函数, 记为 Γ s)( , 即 Γ s)( = , . ∫ +∞ −− 0 1 dxex xs s > ) 0 ( −Γ 函数是一个很有用的特殊函数 . 2. −Γ 函数的连续性和可导性: Γ s)( 在区间 内非一致收敛 ∞+ ) , 0 ( . 这是因为 s = 0 时积分发散. 这里利用了 下面的结果: 若含参广义积分在 ∈ bay ] , ( 内收敛, 但在点 = ay 发散, 则积分 在 内非一致收敛 ba ] , ( .( 证明参阅: 复旦教案 − −17490 和 18(合) P368 E1.) 但 Γ s)( 在区间 内闭一致收敛 ∞+ ) , 0 ( .即在任何 ba ],[ ⊂ + ∞ ) , 0 ( 上 , Γ s)( 248