A,}(4=c,4)+∞,函数项级数∑ f(x=2n(x)在[a 上一致收敛 含参无穷积分一致收敛判别法: Weierstrass m判别法:设有函数g(y),使在[a,b]×[c,+∞)上有 1f(x,y)卜g(y).若积分[g(y)<+∞,则积分[f(x,y)d在[a,b 致收敛 例2证明含参无穷积分cx在-<y<+内一致收敛 2. Dirichlet判别法和Abe判别法 三.一致收敛积分的解析性质:含参无穷积分的解析性质实指由其所表达 的函数的解析性质 连续性:积分号下取极限定理 Th3设函数f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续若积分 1(x)=「f(xy)在a,b1上一致收敛,则函数1(x)在a,b]上连续(化 为级数进行证明或直接证明) 系在Th3的条件下,对x∈[a,b],有 limb/(x, y)dy=/(o, y)dy=( lim f(x, y) ay 2.可微性:积分号下求导定理 Th4设函数∫和f在[a,b]×[c,+∞)上连续若积分/(x)=「f(x,y)b 在[a,b1上收敛,积分f(x,y)在[a,b一致收敛则函数I(x)在[a,b 上可微且(x)=f(x,y) 3.可积性:积分换序定理 Th5设函数fx,y在[a,b]×{c,+∞)上连续若积分/(x)=「f(xy) 在[a,b]上一致收敛,则函数(x)在[a,b]上可积,且有 rdo"f(, y)dy=" dyr'f(,y)a 关于在[a,+∞)×[c,+∞)上的积分换序问题 例3计算积分 bx-sin ax dx,(p>0,b>a)}{An )( 1 = cA , ↗ , 函数项级数 在 上一致收敛. An ∞+ ∑∫ ∑ ∞ = ∞ = + = 1 1 1 )(),( n A A n n n n xudyyxf ba ] , [ 二. 含参无穷积分一致收敛判别法: 1. Weierstrass M 判别法 : 设有函数 yg )( , 使 在 × cba + ∞ ) , [] , [ 上 有 . 若积分 , 则积分 在 一致收敛. ≤ ygyxf )(|),(| ∞+< ∫ +∞ )( c dyyg ∫ +∞ c ),( dyyxf ba ] , [ 例 2 证明含参无穷积分 ∫ ∞+ 0 + 2 1 cos dx x xy 在 − ∞ < y < +∞ 内一致收敛. 2. Dirichlet 判别法和 Abel 判别法: 三. 一致收敛积分的解析性质: 含参无穷积分的解析性质实指由其所表达 的函数的解析性质. 1. 连续性: 积分号下取极限定理. Th 3 设函数 yxf ),( 在 × cba + ∞ ) , [] , [ 上连续 . 若积分 在 上一致收敛, 则函数 在 上连续. ( 化 为级数进行证明或直接证明 ) ∫ +∞ = c ),()( dyyxfxI ba ] , [ xI )( ba ] , [ 系 在 Th 3 的条件下 , 对 x0 ∈∀ ba ] , [ , 有 ∫∫ ∫ + ∞ ∞ + ∞+ → → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = xx cc c xx ),(),(lim dyyxfdyyxf dyyxf .),(lim 0 0 0 2. 可微性: 积分号下求导定理. Th 4 设函数 和 在 上连续. 若积分 在 上收敛, 积分 在 一致收敛. 则函数 在 上可微,且 . f x f cba ∞+× ) , [] , [ ∫ +∞ = c ),()( dyyxfxI ba ] , [ ∫ +∞ c x ),( dyyxf ba ] , [ xI )( ba ] , [ ∫ +∞ ′ = c x ),()( dyyxfxI 3. 可积性: 积分换序定理. Th 5 设函数 在 上连续. 若积分 在 上一致收敛, 则函数 在 上可积 , 且有 yxf ),( cba ∞+× ) , [] , [ ∫ +∞ = c ),()( dyyxfxI ba ] , [ xI )( ba ] , [ . ∫∫ ∫ ∫ +∞ +∞ = b a c c b a ),( ),( dyyxfdydyyxfdx 关于在 ca ∞+×∞+ ) , [) , [ 上的积分换序问题. 例 3 计算积分 ∫ ∞+ − >> − = 0 ) , 0 ( , sinsin abpdx x axbx eI px 247