Ch18含参量广义积分 计划课时:6时 P233244 2005.10.29 Ch18含参量广义积分(6时) §1含参无穷积分 含参无穷积分: 含参无穷积分:函数∫(x,y)定义在[a,b]×[c,+∞)上([a,b]可以是 无穷区间)以/(x)=「(xy)b为例介组含参无穷积分表示的函数(x) 2.含参无穷积分的一致收敛性 逐点收敛(或称点态收敛)的定义:x∈[a,b],VE>0,彐M>c,使 f(x,y)l小< 引出一致收敛问题 定义(一致收敛性)设函数∫(x,y)定义在[a,b]×[c,+∞)上.若对 >0,3M>c,使[f(xy)<s对vx∈[a,b]成立,则称含参无 穷积分f(xy)在a,b1(关于x)致收敛 Th1( Cauchy收敛准则)积分l(x)=f(x,y)d在[a,b]上一致收 敛,分VE>0,彐M>0,VA1,A2>M f(x,y)<E对 vx∈[a,b]成立 SInx 例1证明含参量非正常积分 d在[δ,+∞)上一致收敛,其中δ>0 但在区间(0,+)内非一致收敛 3.含参无穷积分与函数项级数的关系: Ih2积分1(x)=「f(x,y)在[a,b]上一致收敛,对任一数列Ch 18 含参量广义积分 计划课时： 6 时 P 233—244 2005. 10 .29. Ch 18 含参量广义积分 (6 时 ) § 1 含参无穷积分 一. 含参无穷积分: 1． 含参无穷积分: 函数 yxf ),( 定义在 × cba + ∞ ) , [] , [ 上 ( 可以是 无穷区间 ). 以 为例介绍含参无穷积分表示的函数 . ba ] , [ ∫ +∞ = c ),()( dyyxfxI xI )( 2. 含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛( 或称点态收敛 ) 的定义: x ∈∀ ba ] , [ , ∀ε > ∃ , 0 > cM , 使 < ε ∫ +∞ M ),( dyyxf . 引出一致收敛问题 . 定 义 (一致收敛性 ) 设函数 定义在 yxf ),( × cba + ∞ ) , [] , [ 上. 若对 ε , 0 >∃>∀ cM , 使 < ε ∫ +∞ M ),( dyyxf 对 ∀x ∈ ba ] , [ 成立, 则称含参无 穷积分 ∫ 在 ( 关于 +∞ c ),( dyyxf ba ] , [ x )一致收敛. Th 1 ( Cauchy 收敛准则 ) 积分 在 上一致收 敛 , ∫ +∞ = c ),()( dyyxfxI ba ] , [ ⇔ 21 ε ∀>∃>∀ , , 0 , 0 AAM M ⇒> , < ε ∫ 2 1 ),( A A dyyxf 对 x ∈∀ ba ] , [ 成立 . 例 1 证明含参量非正常积分 ∫ +∞ 0 sin dy y xy 在 δ + ∞ ) , [ 上一致收敛 , 其中δ > 0 . 但在区间 内非一致收敛 ∞+ ) , 0 ( 3. 含参无穷积分与函数项级数的关系: Th 2 积分 在 上一致收敛, ∫ +∞ = c ),()( dyyxfxI ba ] , [ ⇔ 对任一数列