数学分析方法论选讲 limf(x,)=lim f() 取 n=2k+1,则m=n=x0、(n≠x),从而 n=2k imf(n)存在且 m(n)=mn/(=x)=mf(x,)=mf(=2)=lmn/f(,) 于是对任给的序列{xn},若lxn=x0(xn≠x),则lmf(xn)存在且极限 值与{xn}的选取无关,记为A. (2)证明lmf(x)=A(反证法),若mf(x)≠A,则有E0>0,对任给的 x→x0 x→x0 d>0,总有x满足0<x2-x0<δ且使得(x)-4≥5 取δ=1,则有x满足0<x-x<6,使得 E 则有x2满足0<x2-x <min |1 xo},使得 取6=,则有x满足0<-x<mnn1-x},使得 f(xn)-4≥60 由此可以找到{xn}满足lmxn=x0(xn≠x),且 (xn)-4≥E0>0 即时 imf(xn)≠A,这与(1)之证矛盾 间题125设O(x0,)=supJ(x)-f(y),则lmf(x)存在的充分必要条件 是mno(x,0)=0数学分析方法论选讲 ( ) = → n n lim f x ( ) n n f y → lim ． 取    = = + = 2 , 2 1, y n k x n k z k k n 则 ( ) 0 0 lim z x , z x n n n =  → ，从而 ( ) n n f z → lim 存在且 ( ) = → n n lim f z ( − ) = → 2 1 lim n n f z ( ) = → n n lim f x ( ) = → n n f z2 lim ( ) n n f y → lim ． 于是对任给的序列 xn  ，若 0 lim x x n n = → （ 0 x x n  ），则 ( ) n n f x → lim 存在且极限 值与 xn  的选取无关，记为 A ． (2) 证明 f (x) A x x = → 0 lim （反证法），若 f (x) A x x  → 0 lim ，则有  0  0 ，对任给的   0 ，总有 x  满足 0  x  − x0   且使得 ( ) 0 f x  − A   ． 取  =1 ，则有 1 x 满足 0  x1 − x0   ，使得 ( ) 1 0 f x − A   取 2 1  = ，则有 2 x 满足        2 − 0  1 − 0 , 2 1 0 x x min x x ，使得 ( ) 2 0 f x − A   ， … … 取 n 1  = ，则有 n x 满足        − 0  −1 − 0 , 1 0 min x x n x x n n ，使得 ( ) 0 f x − A   n ， … … 由此可以找到 xn  满足 0 lim x x n n = → （ 0 x x n  ），且 f (xn )− A   0  0， 即时 f (xn ) A n  → lim ，这与（１）之证矛盾． 问题 1.2.5 设 (x ) f (x) f (y) y x x x f = −  −   −      0 0 0 0 0 , sup ，则 f (x) x x0 lim → 存在的充分必要条件 是 lim ( 0 , ) 0 0 = →    x f ．