数学分析方法论选讲 注意m/(x0,6)=spf(x)-f() 时也有 o (xo, 8)=sup f(x) inf, f(x) 证明:设lmf(x)存在,则由柯西( Cauchy)收敛准则,对任给的E>0,存在δ>0, 当0<x-x<δ,且0<|y-y<6时,|(x)-f(0)<E,由此O,(x,6)≤E,注意 当0<6<O2时,O,(x,6)≤o/(xD2),所以必有mO(x)=0·反之,设 mO/(x0)=0,则对任给的E>0,存在6>0,o(x,0)<E,由此0<kx-xb<o 0<y-y<6时,|(x)-/()≤/(x0,)<E 间题126lmf(x)存在的充要条件是mf(x)(下极限)与mf(x)此同时(上 工→工0 极限)存在且相等 分析:注意m()=如/(,m/()m甲/() 证明:设lmf(x)=A,则对任给的E>0,存在>0,有A-E<f(x)<A+E, 当0<x-x0<6时,注意到上、下极限的定义,则有 A-E≤lmf(x)≤mnf(x)≤A+E 由E的任意性即得imf(x)=mf(x)=A 反之,设mf(x)=mf(x)=A,则有回mO(n,)=0,从而由问题12得证 问题127单变量实函数∫(x)在点x0连续的充要条件是f(x)在点x0上连续且下 连续 证明:注意上连续即为lmf(x)=/(x0),下连续即为lmf(x)=f(x),再由问题 1.2.6即可得证 仿问题124的证明方法,我们可证 问题128f(x0+0)存在的充要条件是对任给的满足条件xn>x,lmxn=x0的数学分析方法论选讲 分析：注意 (x ) f (x) f (y) y x x x f = −  −   −      0 0 0 0 0 , sup ，同时也有 (x ) f (x) f (x) x x x x f      −   −  = − 0 0 0 0 0 , sup inf ． 证明：设 f (x) x x0 lim → 存在，则由柯西（ Cauchy ）收敛准则，对任给的   0 ，存在   0 ， 当 0  x − x0   ，且 0  y − y0   时， f (x)− f (y)   ，由此  ( , )   0 x f ，注意 当 0   1   2 时， ( ) 0 1  f x ,  ( ) 0 2  f x , ，所以必有 lim ( 0 , ) 0 0 = →    x f ．反之，设 lim ( 0 , ) 0 0 = →    x f ，则对任给的   0 ，存在   0 ， ( , )   0 x f ，由此 0  x − x0   ， 0  y − y0   时， f (x)− f (y)   ( , )   0 x f ． 问题 1.2.6 f (x) x x0 lim → 存在的充要条件是 f (x) x x0 ___ lim → （下极限）与 f (x) x x ____ 0 lim → 此同时（上 极限）存在且相等． 分析：注意 f (x) x x0 ___ lim → f (x)  →  x−x  = 0 0 0 lim inf ， f (x) x x ____ 0 lim → f (x) x x   →  −  = 0 0 0 lim sup ． 证明：设 f (x) A x x = → 0 lim ，则对任给的   0 ，存在   0 ，有 A−  f (x)  A+ ， 当 0  x − x0   时，注意到上、下极限的定义，则有 −   ( )  ( )  +  → → A f x f x A x x x x 0 0 ____ ____ lim lim ． 由  的任意性即得 ( ) = → f x x x0 ___ lim f (x) A x x = → ____ 0 lim ． 反之，设 f (x) f (x) A x x x x = = → → _____ _____ 0 0 lim lim ，则有 lim ( 0 , ) 0 0 = →    x f ，从而由由问题 1.2.5 得证． 问题 1.2.7 单变量实函数 f (x) 在点 0 x 连续的充要条件是 f (x) 在点 0 x 上连续且下 连续． 证明：注意上连续即为 f (x) x x _____ 0 lim → = ( ) 0 f x ，下连续即为 f (x) x x0 _____ lim → = ( ) 0 f x ，再由问题 1.2.6 即可得证． 仿问题 1.2.4 的证明方法，我们可证 问题 1.2.8 ( 0) f x0 + 存在的充要条件是对任给的满足条件 n x > 0 x ， 0 lim x x n n = → 的