数学分析方法论选讲 序列mf(xn)存在;f(x0-0)存在的充要条件是对任给的满足条件xn<x0,lmxn=x 的序列有lmnf(xn)存在 问题129设f(x)对一切x∈(a+)满足等式)=f(x) ≠P>0),且 f(x)在x=0右连续,在x=1连续,则f(x)在(∞+∞)上恒为常数 证明:由f(x)=f(x|”),从而f(x)为偶函数,仅须证∫(x)在[0,+∞)上连续 在[0+2x)上f(x)=(x),取x=y,则f(y)=f(y2),所以我们不妨设P>1,则 对任给的x>0,有 f(x)=f(x)=f(x)=…=f(x”), 由m=0,得x”→1,从而用问题1.24的结论和f(x)在x=1点的连续性可知 f(x)=lim f(xP)=fO 又八(x)在x=0右连续,于是/()=(x)=lmf(x)=f(o),所以在[O+∞)上f(x) 连续,从而在(∞+∞)上边疆且恒为常数f() 以下介绍连续变量离散化方法,即用抽取子序列来证明闭区间上连续函数的性质.事实 ,前面的海涅(Heme)定理即探讨这方面的问题 问题1210函数f(x)在[ab]上连续,则函数f(x)在[ab上达到最大值 分析:设M=supf(x),则问题所要证的是存在xo∈[b],有f(x)=M ea, bl 证明:设M=s甲J(x),则对任给的k∈N,有x∈[a,使得/(x,)>M-1 由{x}有界,按致密性定理(问题11),从而可选取{x}的子序列{n} lmxn=x0,x∈[b,一方面M≥f(x1)>M-,得 n imf(xn)=M,另一方面由连续性mf(xm)=f(x0),由此f(x)=M 同理,我们可证,[a上的连续函数f(x)在[b上可达到最小值.此外,这里数学分析方法论选讲 序列 ( ) n n f x → lim 存在； ( 0) f x0 − 存在的充要条件是对任给的满足条件 n x < 0 x ， 0 lim x x n n = → 的序列有 ( ) n n f x → lim 存在． 问题 1.2.9 设 f (x) 对一切 x(− ,+) 满足等式 ( ) = p f x f (x),(1 p  0) ，且 f (x) 在 x = 0 右连续，在 x =1 连续，则 f (x) 在 (− ,+) 上恒为常数． 证明：由 ( ) (| | ) 1 p f x = f x ，从而 f (x) 为偶函数，仅须证 f (x) 在［ 0,+) 上连续． 在［ 0,+) 上 f (x)＝ ( ) p f x ，取 p x y 1 = ，则 f (y) = ( ) 1 p f y ，所以我们不妨设 p  1 ，则 对任给的 x  0 ，有 ( ) ( ) ( ) 1 2 p p f x = f x = f x =… ( ) 1 n p = f x ， 由 0 1 lim = → n n p ，得 1 1 → n p x ，从而用问题 1.2.4 的结论和 f (x) 在 x =1 点的连续性可知 ( ) lim ( ) (1) 1 f x f x f n p n = = → . 又 f (x) 在 x = 0 右连续，于是 (1) ( ) lim ( ) (0) 0 f f x f x f x = = =  ，所以在［ 0,+) 上 f (x) 连续，从而在 (− ,+) 上边疆且恒为常数 f (1)． 以下介绍连续变量离散化方法，即用抽取子序列来证明闭区间上连续函数的性质．事实 上，前面的海涅 (Heine) 定理即探讨这方面的问题． 问题 1.2.10 函数 f (x) 在 a,b 上连续，则函数 f (x) 在 a,b 上达到最大值． 分析：设   M f (x) x a,b sup  = ，则问题所要证的是存在 x a,b 0  ，有 f (x0 ) = M ． 证明：设 M =   f (x) x a,b sup  ，则对任给的 k  N ，有 xk  a,b ，使得 ( ) k f xk M 1  − ． 由 xk  有界，按致密性定理（问题 1.1.11 ），从而可选取 xk  的子序列   nk x ， 0 lim x x nk k = → ， x a,b 0  ，一方面 k n n M f x k M 1  ( )  − ，得 f xnk M k = → lim ( ) ，另一方面由连续性 lim ( ) nk k f x → ( ) 0 = f x ，由此 f (x0 ) = M ． 同理，我们可证， a,b 上的连续函数 f (x) 在 a,b 上可达到最小值．此外，这里