数学分析方法论选讲 a≤xn≤b(k=1,2,…)按极限的保序性有a≤x≤b 问题1211设!n(x)为有界闭区间b上一连续函数列,且 )f(x)≥f2(x)≥…f(x)≥ (2)f(x)=lmfn(x)处处存在 试证f(x)在[ab]上必有最大值 证明:f1(x)在b上连续,故有界,从而存在M0>0,使f(x)≤M0, ab从而f(x)≤M,x∈[ab] 令M=即pf(x),则M≤M为有限数,对任给的k∈N有x∈[ab], ∫(x)>M-1.又{x}是有界数列,则有收敛子列{n},设其极限为x,即 lim ab],于是 S(xo)=lim /(x, )2 lim(M-)=M 再令n→∞,f(x)=lmfn(x0)≥M,从而f(x)=M 这里证明的关键是用有界数列的致密性定理 问题1212f(x)在x0存在导数的充要条件是对任给的两数列 a.≤x5B.(n=12…,.,≠B,ma1=xn=mB,有lmB)-/()存 Br 证明若(x)存在即m()/()=r(),从而对任给的>0,存在650 当04x-x0k<δ时, <E f(Bn)-f(a x数学分析方法论选讲 a x b nk   （ k = １，２，…）按极限的保序性有 a  x0  b． 问题 1.2.11 设 f n (x) 为有界闭区间 a,b 上一连续函数列，且 (1) f 1 (x)  f 2 (x) … f n (x)  f n+1 (x)  …， ( ) f (x) f (x) n n→ 2 = lim 处处存在． 试证 f (x) 在 a,b 上必有最大值． 证明： f (x) 1 在 a,b 上连续，故有界，从而存在 M0  0 ，使 f (x) 1  M0 ， xa,b ，从而 f (x)  M0 ， xa,b． 令 M f (x) axb = sup ， 则 M  M0 为有限数，对任给的 k  N 有 xk  a,b ， ( ) k f xk M 1  − . 又 xk  是 有 界 数 列 , 则 有 收 敛 子 列   nk x , 设 其 极 限 为 0 x , 即 0 lim x x nk k = →  a,b,于是 ( ) M n f x f x M k k n n k n k =  − = → → ) 1 lim ( ) lim ( 0 . 再令 n →, f (x ) f n (x ) M n =  → 0 0 lim ,从而 f (x0 ) = M . 这里证明的关键是用有界数列的致密性定理. 问 题 1.2.12 f (x) 在 0 x 存在导数的充要条件是对任给的两数列 n n   x0   ( n = 1,2,…),  n   n , n n n n  x  → → lim = 0 = lim ,有 ( ) ( ) n n n n n f f     − − → lim 存 在. 证明:若 ( ) 0 f  x 存在,即 ( ) ( ) = − − → 0 0 0 lim x x f x f x x x ( ) 0 f  x ,从而对任给的   0,存在   0 , 当 0 | x − x0 |  时, ( ) ( ) − ( )   − − 0 0 0 f x x x f x f x . 而 ( ) ( ) ( ) 0 f x f f n n n n −  − −    