(6)Sn=∑ 16 所以 9 (7)Sn=Vn+2-√n+1-√2+1,所以 S= lim S=-√2+1。 (8)设Sn=24-1,则3Sn=2x1=∑2+1,两式相减,得到 n-1 所以 S=lim S=1 (9)∑to=1-(gy ,由|qk1,得到 k=0 ∑eo=1im∑4_1 n∞k=0 利用Euer公式e0=cosO+ isin e,对上式两边取实部,得到 acosn=- 1-gcos0 2q cosb+q 2.确定x的范围,使下列级数收敛。 (1-x) (3)∑x"(1-x) 解1)由-1<1<1解得xe(-0)U(2+∞)。 (2)由ex<1解得xe(∞,0（6） ∑ = − + + = n k k k k Sn 1 2 1 1 3 5 4 9 5 1 9 5 1 9 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⋅ n 9 4 1 9 4 1 9 16 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⋅ n ，所以 20 9 = lim = 3 →∞ n n S S 。 （7）Sn = n + 2 − n +1 − 2 +1，所以 n n S S →∞ = lim = − 2 +1。 （8）设 ∑ = − = n k n k k S 1 3 2 1，则 ∑ = − − = n k n k k S 1 1 3 2 1 3 ∑ − = + = 1 0 3 2 1 n k k k ，两式相减，得到 n n k n k n S 3 2 1 3 2 2 1 1 1 − = + ∑ − − = n n n 3 2 1 3 1 1 3 1 1 3 2 1 1 − − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + ⋅ − ， 所以 = lim = 1 →∞ n n S S ； （9） ( ) ∑ = + − − = n k i n i k ik qe qe q e 0 1 1 1 θ θ θ ，由| q |< 1，得到 ∑ ∞ = = n 0 n in q e θ ∑ = →∞ − = n k i k ik n qe q e 0 1 1 lim θ θ 。 利用 Euler 公式eiθ = cosθ + isinθ ，对上式两边取实部，得到 ∑ ∞ =0 cos n n q nθ 2 1 2 cos 1 cos q q q − + − = θ θ 。 2. 确定 x 的范围，使下列级数收敛。 ⑴ ∑ ∞ =1 (1− ) 1 n n x ; ⑵ ∑ ∞ =1 e n nx ; ⑶ ∑ ∞ = − 1 (1 ) n n x x . 解 （1）由 1 1 1 1 < − − < x 解得 x ∈ (−∞,0) ∪ (2,+∞) 。 （2）由ex < 1解得 x ∈ (−∞,0) 。 2