第九章数项级数 习题9.1数项级数的收敛性 讨论下列级数的收敛性。收敛的话,试求出级数之和。 2 3n+1 nn(n+1)(n+2) (2”3′ (7)∑(n+2-2n+1+Vm); (8 g cOs 解( k(k+2)2(kk+2 (1+ 所以 n+1n+2 s=lim s (2)因为1mxn=2≠0,所以级数发散。 (3)Sn=∑ 2 kk(k+1)(k+2)2kkk+1 所以 S=lim s=-o (4)S 所以 (5)因为 lim x=1≠0,所以级数发散。第九章 数项级数 习 题 9.1 数项级数的收敛性 1. 讨论下列级数的收敛性。收敛的话，试求出级数之和。 ⑴ ∑ ∞ =1 ( + 2) 1 n n n ; ⑵ ∑ ∞ =1 3 +1 2 n n n ; ⑶ ∑ ∞ =1 ( +1)( + 2) 1 n n n n ; ⑷ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 3 1 2 1 n n n ; ⑸ ∑ ∞ =1 1 n n n ; ⑹ ∑ ∞ = − + + 1 2 1 1 3 5 4 n n n n ; ⑺ ∑ ∞ = + − + + 1 ( 2 2 1 ) n n n n ; ⑻ ∑ ∞ = − 1 3 2 1 n n n ; ⑼ 0 cos n n q nθ ∞ = ∑ (| q |< 1). 解 （1） ∑ = + = n k n k k S 1 ( 2) 1 ∑ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − n k 1 k k 2 1 1 2 1 ) 2 1 1 1 2 1 (1 2 1 + − + = + − n n ，所以 4 3 = lim = →∞ n n S S 。 （2）因为 0 3 2 lim = ≠ →∞ n n x ，所以级数发散。 （3） ∑ = + + = n k n k k k S 1 ( 1)( 2) 1 ∑ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = − n k 1 k k k 2 1 1 1 2 2 1 ) 2 1 1 1 2 1 (1 2 1 + + + = − − n n ， 所以 4 1 = lim = →∞ n n S S 。 （4） ∑ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − n k n k k S 1 3 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⋅ n 3 1 1 3 1 1 3 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅ n ，所以 2 1 = lim = →∞ n n S S 。 （5）因为 lim = 1 ≠ 0，所以级数发散。 →∞ n n x 1