曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 1.1 Riemann- Christoffel张量 定义1.1( Riemann- Christoffel张量). Rieman- Christoffel张量是四阶张量,其分量定义为 rijpg bipbjg- bibi 性质1.1( Riemann- Christoffel张量的基本性质). 1.指标升降关系:FF=Bb19-的 2.R R .q=-Ri9P, R: '9=R. 证明按 Riemann- Christoffel张量的定义和指标升降关系,可有 R' P9=9 gp Rsjtg=99P(bstbjq-bsgbjt)= Pbj -09bg R. q=b'Pbiq-b9 9=-(,69-6Pbjq R. 9=bPbjq-b9bq=-(0969-bPbj9)=-R Fq=bb-的 另外,对于二维曲面成立下述定理表述的关系 定理1.2(二维曲面上的 Riemann- Christoffel张量同度量张量之间的关系) Rijpg= bipbjg -bipbig kg(gipgjg-gip gig)张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 Riemann-Christoffel 张量 定义 1.1 (Riemann-Christoffel 张量). Riemann-Christoffel 张量是四阶张量, 其分量定义为 Rijpq = bipbjq − bjpbiq. 性质 1.1 (Riemann-Christoffel 张量的基本性质). 1. 指标升降关系: Ri · · j p · q = b ipbjq − b p j b i q ; 2. Ri · · j p · q = −R· j i · p · q, Ri · · j p · q = −Ri · · j · q p ; 3. Ri · · j p · q = R p · · q i ·j . 证明 按 Riemann-Christoffel 张量的定义和指标升降关系, 可有 1. R i · · j p · · q = g isg ptRsjtq = g isg pt(bstbjq − bsqbjt) = b ipbjq − b p j b i q . 2. R i · · j p · q =b ipbjq − b p j b i q = −(b p j b i q − b ipbjq) = −R · j i · p · q; R i · · j p · q =b ipbjq − b p j b i q = −(b p j b i q − b ipbjq) = −R i · · j · q p . 3. R i · · j p · q = b ipbjq − b p j b i q = b pibqj − b i q b p j = R p · · q i ·j . 另外, 对于二维曲面成立下述定理表述的关系. 定理 1.2 (二维曲面上的 Riemann-Christoffel 张量同度量张量之间的关系). Rijpq = bipbjq − bjpbiq = KG(gipgjq − gjpgiq). 1