曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 证明根据 Gauss曲率Kc的定义,有 det 亦即有 在二维的情况下,上式即为 K 91112 b21b2 即有 p-剑 亦即 定义12(ici张量).Rici张量是二阶张量,其分量定义为 Rij=R,isj=rij 定义1.3(数量曲率).数量曲率是一个标量,定义为 R=R= trR 定理1.3.对于二维曲面,有 Ri R K 证明首先有 Rii= risi= kGs 而 Kc(632-9s92)9n KG(4-2)gij=Ko 1.2 Ricci等式与 Codazzi方程 现在,研究曲面上的向量场A(cx)=A(x)9(xx)∈T∑.考虑该张量场在某坐标线上的 变化率 aA an)=am(49)(x)=m(xg)9+A(ra9+hn) A O2p(5)+rps 45)92+A"bpsn=Vpa'91+Abpsn张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 证明 根据 Gauss 曲率 KG 的定义, 有 KG = det ( g ikbkj) = det ( bij) det ( gij), 亦即有 KG det ( gij) = det ( bij) . 在二维的情况下, 上式即为 KG      g11 g12 g21 g22      =      b11 b12 b21 b22      . 即有 KG      gip giq gjp gjq      =      bip biq bjp bjq      . 亦即 KG(gipgjq − gjpgiq) = bipbjq − bjpbiq. 定义 1.2 (Ricci 张量). Ricci 张量是二阶张量, 其分量定义为 Rij = R s · isj = R · i s · js. 定义 1.3 (数量曲率). 数量曲率是一个标量, 定义为 R = R i ·i = trR. 定理 1.3. 对于二维曲面, 有 Rij = 1 2 Rgij = KGgij . 证明 首先有 Rij = R s · isj = KG(δ s s gij − gisδ s j ) = KGgij , 而 1 2 Rgij = 1 2 R s · · s gij = 1 2 R s · · · ts t · gij = 1 2 KG(δ s s δ t t − gtsg st)gij = 1 2 KG(4 − 2)gij = KGgij . 1.2 Ricci 等式与 Codazzi 方程 现在, 研究曲面上的向量场 A(xΣ) = Ai (xΣ)gi (xΣ) ∈ T Σ. 考虑该张量场在某坐标线上的 变化率: ∂A ∂xp Σ (xΣ) = ∂ ∂xp Σ (A s gs )(xΣ) = ∂As ∂xp Σ (xΣ)gs + A s (Γ t psgt + bpsn) = ( ∂At ∂xp Σ (xΣ) + Γ t psA s ) gt + A s bpsn = ∇pA t gt + A s bpsn. 2