曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 此表达式利用了针对曲面张量分量的曲面协变导数,对任意曲面上仿射量场日=6:;91⑧9(向 量场同理),其定义如下 (aE)+Tise.]-Tie 所以 Bxyoxp(ar)=a oVp4(91+p4(rg.+bhn)+a(4)n+4y(9 0 O2(VpA )(as)+IgvpA 9s+(Vp A )gn+ a-g(Abps)m Sbpsbg9t an(p4)(a)+FVp4一4小9,+p4+ar(4)n 按有限维 Euclid上的微分学,一定有关系式 02A (as 按gs项的系数平衡,有 Bxg(VpA)(as)+IgsVpA'-A' bptbg auF(DqA)(as)+Ip vgAt-A' bgtop 在上式两端加上-rVtA,将有 VOVPAS-bptbaA= VPvqAs-bgtbpA VOVPAS-VPVQA=(bptbas -bgtb)A 根据 Riemann- Christoffel张量的定义,有 VqVpA- VEGa°= R. A 称为 Gauss方程. 下面考虑曲面上仿射量场更(xx)=(x)91(x)g(xx),则有 O(a)=ar2()9189+③ ④ 39(ax)8gy2+重/g188(m) ddpe (cy)g;⑧g .g⑧ bn()+层时一功必小97+8n+吗n8 =Vp,91893+重y918n+bnn89张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 此表达式利用了针对曲面张量分量的曲面协变导数, 对任意曲面上仿射量场 Θ = Θi · · j gi ⊗ g j (向 量场同理), 其定义如下: ∇lΘ i · j , ∂Θi · j ∂xl Σ (xΣ) + Γ i lsΘ s · j − Γ s ljΘ i · s, 所以 ∂ 2A ∂xq Σ ∂xp Σ (xΣ) = ∂ ∂xq Σ (∇pA t )(xΣ)gt + ∇pA t (Γ s qtgs + bqtn) + ∂ ∂xq Σ (A s bps)n + A s bps(−b t q )gt = [ ∂ ∂xq Σ (∇pA s )(xΣ) + Γ s qt∇pA t ] gs + (∇pA t )bqtn + ∂ ∂xq Σ (A s bps)n − A s bpsb t qgt = [ ∂ ∂xq Σ (∇pA s )(x) + Γ s qt∇pA t − A t bptb s q ] gs + [ bqt∇pA t + ∂ ∂xq Σ ( A t bpt) ] n. 按有限维 Euclid 上的微分学, 一定有关系式 ∂ 2A ∂xq Σ ∂xp Σ (xΣ) = ∂ 2A ∂xp Σ ∂xq Σ (xΣ). 按 gs 项的系数平衡, 有 ∂ ∂xq Σ (∇pA s )(xΣ) + Γ s qt∇pA t − A t bptb s q = ∂ ∂xp Σ (∇qA s )(xΣ) + Γ s pt∇qA t − A t bqtb s p . 在上式两端加上 −Γ t qp∇tAs , 将有 ∇q∇pA s − bptb s qA t = ∇p∇qA s − bqtb s pA t , 即 ∇q∇pA s − ∇p∇qA s = (bptb s q − bqtb s p )A t . 根据 Riemann-Christoffel 张量的定义, 有 ∇q∇pA s − ∇p∇qA s = R s · tqpA t , 称为 Gauss 方程. 下面考虑曲面上仿射量场 Φ(xΣ) = Φ i ·j (xΣ)gi (xΣ) ⊗ g j (xΣ), 则有 ∂Φ ∂xp Σ (xΣ) = ∂Φi ·j ∂xp Σ (xΣ)gi ⊗ g j + Φ i ·j ∂gi ∂xp Σ (xΣ) ⊗ g j + Φ i ·jgi ⊗ ∂g j ∂xp Σ (x) = ∂Φi ·j ∂xp Σ (xΣ)gi ⊗ g j + Φ i ·j ( Γ k pigk + bpin ) ⊗ g j + Φ i ·jgi ⊗ ( −Γ j pkg k + b j pn ) = [ ∂Φi ·j ∂xp Σ (xΣ) + Γ i pkΦ k · j − Γ k pjΦ i ·k ] gi ⊗ g j + Φ i ·j b j pgi ⊗ n + Φ i ·j bpin ⊗ g j = ∇pΦ i ·jgi ⊗ g j + Φ i ·j b j pgi ⊗ n + Φ i ·j bpin ⊗ g j . 3