曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 进一步计算,可有 a2更 (0)+V时,一一一买498gy +[Vpa +V(0)9:n+[bgivpe j+vq( bpi)n? +p.(6pig +bpbqi n on 按张量赋范线性空间上微分学,可有 a2 02① 按g;⑧g1的系数平衡,有 ax(p2)+nVp-V,一的,一h a()+PV2-FmV更,一更,一, 在上式两端加上rV。更y,将有 VVp+中.1一,=VpV;一,1b-少,bb 根据 Riemann- Christoffel张量的定义,有 VV一VnV中=Rm时+如 上式为 Gauss方程的推广,称为 Ricci恒等式 按n⑧g的系数平衡有 bgi vp vo(, bpi)=bpi vg j+ Vp(,bqi) 因为 bgi vp + val bpi)=bgi vp+bpi vas (V,bpi), 所以平衡方程变为 称为 Codazzi方程 再按g;⑧n的系数平衡,有 bVn+Vq(…,)=bVg (,y) 由于 ba Pop j+Vq(p bp)=bpOp.j+pvq,+.V p 此时平衡方程同样变为 Codazzi方程 V张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 进一步计算, 可有 ∂ 2Φ ∂xq Σ ∂xp Σ (xΣ) = [ ∂ ∂xq Σ (∇pΦ i ·j ) + Γ i sq∇pΦ s · j − Γ s qj∇pΦ i ·s − Φ i ·sb s p bqj − Φ s · j bpsb i q ] gi ⊗ g j + [ b j q∇pΦ i ·j + ∇q(Φ i ·j b j p ) ] gi ⊗ n + [ bqi∇pΦ i ·j + ∇q(Φ i ·j bpi) ] n ⊗ g j + Φ i ·j (bpib j q + b j p bqi)n ⊗ n. 按张量赋范线性空间上微分学, 可有 ∂ 2Φ ∂xq Σ ∂xp Σ (xΣ) = ∂ 2Φ ∂xp Σ ∂xq Σ (xΣ). 按 gi ⊗ g j 的系数平衡, 有 ∂ ∂xq Σ (∇pΦ i ·j )+Γ i sq∇pΦ s · j − Γ s qj∇pΦ i ·s − Φ i · · s b s p bqj − Φ s · j bpsb i q = ∂ ∂xp Σ (∇qΦ i ·j ) + Γ i sp∇qΦ s · j − Γ s pj∇qΦ i ·s − Φ i ·sb s q bpj − Φ s · j bqsb i p . 在上式两端加上 Γ s qp∇sΦ i ·j , 将有 ∇q∇pΦ i ·j + Φ i ·sb s p bqj − Φ s · j bpsb i q = ∇p∇qΦ i ·j − Φ i ·sb s q bpj − Φ s · j bqsb i p . 根据 Riemann-Christoffel 张量的定义, 有 ∇q∇pΦ i ·j − ∇p∇qΦ i ·j = R i · · · · tqpΦ t · j + R · j t · · · qpΦ i ·t . 上式为 Gauss 方程的推广, 称为 Ricci 恒等式. 按 n ⊗ g j 的系数平衡有 bqi∇pΦ i ·j + ∇q(Φ i ·j bpi) = bpi∇qΦ i ·j + ∇p(Φ i ·j bqi). 因为 bqi∇pΦ i ·j + ∇q(Φ i ·j bpi) = bqi∇pΦ i ·j + bpi∇qΦ i ·j + Φ i ·j (∇qbpi), 所以平衡方程变为 ∇qbpi = ∇pbqi, 称为 Codazzi 方程. 再按 gi ⊗ n 的系数平衡, 有 b j q∇pΦ i ·j + ∇q(Φ i ·j b j p ) = b j p∇qΦ i ·j + ∇p(Φ i ·j b j q ). 由于 b j q∇pΦ i ·j + ∇q(Φ i ·j b j p ) = b j q∇pΦ i ·j + b j p∇qΦ i ·j + Φ i ·j∇qb j p , 此时平衡方程同样变为 Codazzi 方程 ∇qbpi = ∇pbqi. 4