曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 按n⑧n的系数平衡,有 +bl 上式是恒成立的 进一步,考虑下面的曲面上仿射量场型(xx)=3918n∈2(R3),则有 a2(x)= (x)9,8n+30(x)n+更,m(x2) (x)91n+小,3(91+bn)8n-重3h918g =|a(x2)+m23918n+①8nn一499 Vp重.391②n+3bnn8n-重,3bhn91⑧g 进一步计算 aagozp(ax)=-[va (e abpi)+bgi vp. 3]910g'-g' a(bpibgi+ bps gi)nog' +ax(p23(2)+3一的1号一2m918n gi Vp 3+ Org( . 3bpi)as)nn, 其基于微分学的恒等式为 02更 02更 8zoxpas)=axpo(Ez 按g;⑧91的系数平衡,有 (④.3bn)+bVp重3=Vp(p,3by)+ bpj vo 将得到 Codazzi方程 按g;8n的系数平衡,有 a(V13)(xy)+,3一,3n1-到!3y写 0 (V.3)(x)+,3-3b一要3by ax 在上式两端加上一rsVs23,即可得到 Gauss方程 VqVp: 3-VpVq:3= R'jgp ! 按n⑧g的系数平衡,将得到恒等式 bpibgi)=-d3(bqibpj+ baipi)张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数 谢锡麟 按 n ⊗ n 的系数平衡, 有 Φ i ·j (bpib j q + b j p bqi) = Φ i ·j (bqib j p + b j q bpi). 上式是恒成立的. 进一步, 考虑下面的曲面上仿射量场 Φ(xΣ) = Φ i ·3gi ⊗ n ∈ T 2 (R 3 ), 则有 ∂Φ ∂xp Σ (xΣ) = ∂Φi ·3 ∂xp Σ (xΣ)gi ⊗ n + Φ i ·3 ∂gi ∂xp Σ (xΣ) ⊗ n + Φ i ·3gi ⊗ ∂n ∂xp Σ (xΣ) = ∂Φi ·3 ∂xp Σ (xΣ)gi ⊗ n + Φ i ·3(Γ j pigj + bpin) ⊗ n − Φ i ·3bpjgi ⊗ g j = [ ∂Φi ·3 ∂xp Σ (xΣ) + Γ i pjΦ j · 3 ] gi ⊗ n + Φ i ·3bpin ⊗ n − Φ i ·3bpjgi ⊗ g j = ∇pΦ i ·3gi ⊗ n + Φ i ·3bpin ⊗ n − Φ i ·3bpjgi ⊗ g j . 进一步计算 ∂ 2Φ ∂xq Σ ∂xp Σ (xΣ) = − [ ∇q(Φ i ·3bpj ) + bqj∇pΦ i ·3 ] gi ⊗ g j − Φ i ·3(bpibqj + bpj bqi)n ⊗ g j + [ ∂ ∂xq Σ (∇pΦ i ·3)(xΣ) + Γ i qsΦ s · 3 − Φ i ·3bpj b j q − Φ j · 3bpj b i q ] gi ⊗ n + [ bqi∇pΦ i ·3 + ∂ ∂xq Σ (Φ i ·3bpi)(xΣ) ] n ⊗ n, 其基于微分学的恒等式为 ∂ 2Φ ∂xq Σ ∂xp Σ (xΣ) = ∂ 2Φ ∂xp Σ ∂xq Σ (xΣ). 按 gi ⊗ g j 的系数平衡, 有 ∇q(Φ i ·3bpj ) + bqj∇pΦ i ·3 = ∇p(Φ i ·3bqj ) + bpj∇qΦ i ·3, 将得到 Codazzi 方程 ∇qbpj = ∇pbqj . 按 gi ⊗ n 的系数平衡, 有 ∂ ∂xq Σ (∇pΦ i ·3)(xΣ)+Γ i qsΦ s · 3 − Φ i ·3bpj b j q − Φ j · 3bpj b i q = ∂ ∂xp Σ (∇qΦ i ·3)(xΣ) + Γ i psΦ s · 3 − Φ i ·3bqj b j p − Φ j · 3bqj b i p . 在上式两端加上 −Γ s pq∇sΦ i ·3, 即可得到 Gauss 方程 ∇q∇pΦ i ·3 − ∇p∇qΦ i ·3 = R i jqpΦ j · 3; 按 n ⊗ g j 的系数平衡, 将得到恒等式 −Φ i ·3(bpibqj + bpj bqi) = −Φ i ·3(bqibpj + bqj bpi); 5