Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 这是因为:对于无穷远点,以z=∞为展开中心、在区域R<<∞ 里展开的罗朗级数与以0=0为中心、在区域R<|<∞展开的罗朗级 数有相同的形式:f(x)=∑a.换言之,以=0=0为中心、在区域 R<-b<∞展开罗朗级数亦可,其中b任意(实际为z=∞的邻域) ( Chapter1:无穷远点只有一个,其模+∞,而幅角不定)。 同时注意到,对无穷远点的邻域来讲,c的正方向为顺时针方向。因此, 小(=小∑4d=∑∮a1=∑∮a=2m clockwiseclockwise clockwise counter clockwise 2.留数定理:如果∫(x=)在区域D中有n个孤立奇点1,2,…,n,而除 了这些奇点外,f(z)是解析的,那么 f(-)d+φf(x)d f(=)d Resf(=1)+Resf(=2) sf(=n)] 2ri>Res(=k), 其中c1,c2,…,cn分别是围绕奇点x1,z2…,zn的小圆周(反方向,与外界/同 方向),再根据复连通域的柯西定理( Cauchy' s theorem),可以得到 ∫(=)dz 二 l是区域D的外境界线,也可以是境界线之内的任一条闭合曲线,只要它 包围n个孤立奇点并且沿确定(正)方向围绕奇点一圈。这就是留数定理。 [留数定理]:如果函数∫()在闭曲线l所围的区域内,除具有有限个孤立 奇点( (isolated singularities)x=-k(k=1,2,…,m)外是解析的,在/上也是解析 的,则∫()沿/的回路积分(逆时针方向)等于f()在l内所有奇点的留 数之和的2mi倍,即∮f(2)dMethods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 2 这是因为：对于无穷远点，以 z =  为展开中心、在区域 R  z   里展开的罗朗级数与以 z0 = 0 为中心、在区域 R  z   展开的罗朗级 数有相同的形式: ( ) . k k k f z a z  =− =  换言之，以 z0 = 0 为中心、在区域 R z b  −   展开罗朗级数亦可，其中 b 任意（实际为 z =  的邻域）。 (Chapter 1:无穷远点只有一个，其模 + ，而幅角不定)。 同时注意到，对无穷远点的邻域来讲, R c 的正方向为顺时针方向。因此， 1 ( )d d d d 2 . clockwise clockwise clockwise counter clockwise R R R R k k k k k k c c c k k k c f z z a z z a z z a z z ia  −    − =− =− =−     = = = − = −    2． 留数定理：如果 f (z) 在区域 D 中有 n 个孤立奇点 n z ,z , ,z 1 2  ，而除 了这些奇点外， f (z) 是解析的，那么 其中 n c , c , , c 1 2  分别是围绕奇点 n z ,z , ,z 1 2  的小圆周(反方向, 与外界 l 同 方向)，再根据复连通域的柯西定理（Cauchy’s theorem），可以得到 1 1 ( )d ( )d 2 Res ( ) k n n k k k l c f z z f z z i f z  = =   = =   , l 是区域 D 的外境界线，也可以是境界线之内的任一条闭合曲线，只要它 包围 n 个孤立奇点并且沿确定(正)方向围绕奇点一圈。这就是留数定理。 [留数定理]：如果函数 f (z) 在闭曲线 l 所围的区域内，除具有有限个孤立 奇点(isolated singularities) ( 1,2, , ) k z z k n = = 外是解析的，在 l 上也是解析 的，则 f (z) 沿 l 的回路积分（逆时针方向）等于 f (z) 在 l 内所有奇点的留 数之和的 2i 倍，即 1 ( )d 2 Res ( ). n k l k f z z i f z  =  =    1 2 1 2 1 ( )d ( )d ( )d 2 Res ( ) Res ( ) Res ( ) 2 Res ( ), n c c c n n k k f z z f z z f z z i f z f z f z i f z   = + + + = + + + =    