Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU Chapter5定积分计算 Abstracts:留数定理及其应用——定积分、积分主值 、留数定理和留数的求法( Residue theorem and residue calculations) 1.留数的定义:设=是函数f()的孤立奇点( (isolated singularity),即除过 z==0点以外函数f(z)是解析的,则f(x)在=0的留数定义为 Rey()2元(),其中c为绕的闭曲线(f积分沿正方向进 行)且内部无其它奇点,记号为Rey(=)2=或Resf(a) (1)有限远孤立奇点的留数:f(-)在=邻域(0<=-=0<)内(不含 其它奇点)的罗朗级数( Laurent series)展开的-1次幂项(-=0)的 系数a称为f()在奇点a的留数。即ReS(a)=,-∮f()d=a1 此定义基于如下的事实 ()=∑4(=-=)y,其中a=1手(=)-d k=-∞ 2iy=(--0 令函数f()沿以孤立奇点z为中心的一个圆周c积分 f/()d=∑a(=--)d=∑fa(-0yd, k=-∞ 而∮(=-)d= z1(k=1)所以∮f()=27mn 0(k≠-1) 可见,级数中仅仅a(=-=0)项对积分有贡献,积分后唯有a1这个系 数留下来,故名之为留数( residue) (2)无穷远点的留数:f()在以=0=0为中心,环R<|<∞内(不含 其它奇点)的罗朗级数展开的-1次幂项(x-=0)的系数aL的反号称为 f()在∞点的留数。即Re9(o)=手(=)d=a1(此定义直观)Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 5 定积分计算 Abstracts:留数定理及其应用——定积分、积分主值 一、留数定理和留数的求法(Residue theorem and residue calculations) 1．留数的定义：设 0 z 是函数 f (z) 的孤立奇点(isolated singularity)，即除过 0 z z = 点 以 外 函 数 f (z) 是 解 析 的 ， 则 f (z) 在 0 z 的留数定义为 0 ( ) 1 Res ( ) d 2 c f z f z z i =  ，其中 c 为绕 0 z 的闭曲线（ c 积分沿正方向进 行）且内部无其它奇点，记号为 0 Res ( ) z z f z = 或 Res ( ) 0 f z . （1）有限远孤立奇点的留数： f (z) 在 0 z 邻域 (0 ) 0  z − z  r 内（不含 其它奇点）的罗朗级数（Laurent series）展开的 −1 次幂项 1 0 ( ) − z − z 的 系数 −1 a 称为 f (z) 在奇点 0 z 的留数。即 0 1 ( ) 1 Res ( ) d 2 c f z f z z a i = =  − . 此定义基于如下的事实：  ( )  =− = − k k k f z a z z0 ( ) ，其中 1 0 1 ( ) d 2 ( ) k k c f z a z i z z + = −  . 令函数 f (z) 沿以孤立奇点 0 z 为中心的一个圆周 c 积分 ( )  ( )      =−  =− = − = − k c k k c k k k c f (z)dz a z z dz a z z dz 0 0 ， 而 ( 0 ) 2 ( 1) d 0 ( 1), k c i k z z z k   = − − =    −  所以 1 ( )d 2 c  f z z ia =  − . 可见，级数中仅仅 ( ) 1 1 0 − a− z − z 项对积分有贡献，积分后唯有 −1 a 这个系 数留下来，故名之为留数(residue). （2）无穷远点的留数： f (z) 在以 z0 = 0 为中心，环 R  z   内（不含 其它奇点）的罗朗级数展开的 −1 次幂项 1 0 ( ) − z − z 的系数 −1 a 的反号称为 f (z) 在  点的留数。即 ( ) 1 1 Res ( ) d 2 c f f z z a i  = = −  − （此定义直观）