·6· 北京科技大学学报 I995年No.1 上描述.矿山岩体结构也不例外·图1为半无限煤层的简化力学模型·图中q为自由表面附 近的煤层所承受的压力；H=2h为煤层厚度，假设煤层在自由表面处发生突出时，被抛出部 分的宽度为B,且在宽度为B的区域内煤层的损伤具有概率统计的平均意义·若将自由表面 附近的煤层横向变形(y负向)表示成富氏级数 且考虑到级数第一项起主要作用，则有： ω=uS(πx/2h) (1) 式中u。为煤层自由面X=0点处的位移.以U 表示宽为B的煤体的弹性应变能，W表示外力做 的功，F=F(D,uo)表示损伤总耗能，那么系统的 总势能为： V=U-W-F (2) H=2h 由梁弯曲理论可以得到系统的总势能函数近似表 达式2.)，即 v=微+（资-骋 4H )u -f(D)uo (3) 图1半无限煤层的简化力学摸型 式中K。为煤体抵抗向自由空间变形的刚度，对 于脆性煤体，它表示阻止材料向自由空间发生突然破坏的一种抗力；D为损伤变量，D) =dF/dw。表示单位变形损伤扩展所消耗的能量.作变换u。=(H/π)（π2K。/4H)14z, 并令： 则势函数成为： V=(1/4):4+(1/2)a2+b: (4) 这就是以：为状态变量，α、b为控制变量的煤层突出的尖点型突变理论模型.状态变量：对应 半无限长煤层自由表面中点处y负向的位移值4o;控制变量a和b分别对应煤层所受到的压 力q和煤层内单位变形损伤扩展耗能量.控制变量b实质上表征煤体内的损伤扩展情况， 2煤层突出的突变分析 由(4)式可知，对于二维控制空间R中任一组(a、b)值，都将有1组对应的势函数 V.对于V:R×R?→R所代表的函数族，其所有临界点集合在(：，a,b)空间中构成一光滑 空间曲面，称为平衡曲面M.平衡曲面的方程为： grad:V=3+a:+b =0 (5) 它给出了状态变量：与控制变量α、b的关系，而平衡曲面M则表示了一个有皱褶的曲面. 突变理论指出，对应于曲面M中叶的势函数取极大值，从而系统的平衡位置是不稳定的； 而对应于上下叶的平衡位置是稳定的，平衡曲面的双折点在控制变量平面a一b上的投影点 称为突变点，所有的投影点集构成了系统的分叉集，如图2所示.分叉集S的方程由方程北 京 科 技 大 学 学 报 1卯5 年 N o . 1 上 描述 . 矿 山 岩 体结 构也 不例 外 . 图 l 为半 无限 煤层 的 简化 力学模 型 . 图中 q 为 自由表 面 附 近 的煤层所承 受 的压 力 ; H 二 Z h 为煤 层厚度 . 假 设煤 层 在 自由表 面处发 生突 出时 , 被 抛 出部 分 的 宽度 为 B , 且在 宽度 为 B 的区 域 内煤 层 的损伤具有 概率统计 的 平 均 意 义 . 若将 自由表 面 附 近 的煤层横 向变形 ( y 负 向 ) 表示 成富 氏级 数 且 考 虑到 级数第 一项 起主要 作用 , 则 有: l 二 田 = u o co s ( “ x / Z h ) ( l ) 式 中 u 。 为煤 层 自由面 X = 0 点处的位 移 . 以 U 表 示 宽 为 B 的煤 体 的弹性 应 变能 , W 表示 外力 做 的功 , F = F ( D , u o ) 表示 损 伤总耗 能 , 那 么 系统 的 总 势 能 为 : V = U 一 W 一 F ( 2 ) 由梁 弯曲理论可以 得 到 系统 的总 势能 函数 近似 表 达式 [ ’ , 3 ] , 即 H = 2 人 7T 6 K b 1 6 H 5 + ( 兀 4 K b 4 H 3 兀 Z q B 4 H 卜 ” 一 f( D ) u o ( 3 ) 图 1 半无 限 煤层的简化 力学模型 式 中 K b 为煤 体抵抗 向 自由空 间 变形 的刚度 , 对 于 脆性 煤 体 , 它 表 示 阻 止 材 料 向 自由空 间 发 生 突然 破 坏 的 一 种抗 力 ; D 为 损 伤 变 量 , f( D ) = d F/ d u 。 表 示 单 位 变 形 损 伤 扩 展 所 消 耗 的 能 量 . 作 变 换 u 。 = ( H / 二 ) ( 7T Z K 。 / 4 H 犷 ’ 了4 : , 并 令 : H , H “ - — 吸 - 二二, - , ` 7r ’ 人 b 兀 ZK b H 2 一 q B ) , H 口 = 一 — L 71 Z K b 4 H f( D ) 则 势 函 数 成 为 : 厂 = ( l / 4 ) : ` + ( 1 / 2 ) a : , + b : ( 4 ) 这 就 是 以 : 为状态 变量 , a 、 b 为控制 变量 的煤 层 突 出的尖 点 型突 变理论 模 型 . 状 态 变 量 z 对应 半 无 限长 煤层 自由表 面 中点 处 y 负 向的位移 值 u 。 ; 控制 变量 a 和 b 分 别对应 煤 层 所 受 到 的压 力 q 和煤 层 内单 位变 形损 伤 扩展 耗能 量 . 控 制变量 b 实 质上表 征煤 体 内的损 伤 扩展情 况 . 2 煤层 突 出的突变 分析 由 ( 4 ) 式 可 知 , 对于 二 维控 制 空间 牙 中任一 组 ( a 、 b) 值 , 都将 有 l 组 对应 的 势 函 数 F . 对 于 卜 R x R “ ~ R 所代 表 的函 数 族 , 其所 有 临界 点集 合在 ( : , a , b) 空 间 中构 成 一 光 滑 空 间 曲面 , 称 为 平衡 曲 面 M . 平 衡 曲面 的方 程 为 : g ar d : F 二 : , + a : 十 b = o (5 ) 它 给出了状 态 变量 : 与控制 变量 a 、 b 的关 系 . 而平 衡 曲 面 M 则 表 示 了一 个 有 皱 褶 的 曲面 . 突变理论 指 出 , 对应于 曲 面 M 中 叶的 势 函 数 取 极 大 值 , 从 而 系 统 的平 衡 位 置 是 不 稳 定 的; 而对应 于 上下 叶的平 衡位 置 是稳 定 的 . 平 衡 曲面 的双 折 点在 控 制 变 量 平 面 a 一 b 上 的投 影 点 称 为突 变点 . 所 有 的投影 点 集 构 成 了系 统 的 分 叉 集 , 如 图 2 所 示 . 分 叉 集 S 的 方 程 由 方程