赋范线性空间上微分学—变分计算 谢锡麟 且其最大特征值不小于1,故有 (V)T02 avivO v≥V|:=4x+5y,V(x,y)∈Dx 故有 式中 ISh: D sup v az(a, s)+ou(x, y) 可作为61(Dy;R)的范数 综上,可确定临界点为极小值点 32连续介质力学中的应用 本节涉及的弹性力学有限变形理论中总势能驻值原理,总余能驻值原理的背景源于郭仲衡著 《非线性弹性理论》.按2所述变分的一般计算理论,计算总势能,总余能泛函的变分;并建立数学 中一般方法与力学中实际采用方法之间的关系. 事例4(弹性力学有限变形理论中总势能驻值原理).考虑泛函 (n)=|。E Je u (pf)/ u·TNda 的驻值,式中∑(E)为总势能密度,E为 Almansi应变张量,u为位移场,Ovt为全部边界av 中满足应力边界条件的部分 计算一阶变分 day 0∑ (E) (pf)iSid du (a)(s) 由 2++()(可2),则有 dr=/e p2 opidgj giOpj+Opidk; Dqk gjok, puk)o,s, di (x++)声 (n+au)s=/n(+)品 Q(kE5=1(①k)sdr=1(F·T)ndr 口(F·T)成5)-(F·T))5d赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 且其最大特征值不小于 1, 故有 (∇ξ) T ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ ∇ξ > |∇ξ| 2 := ξ 2 x + ξ 2 y , ∀(x, y) ∈ Dxy. 故有 d 2A dϕ2 (ξ, ξ) > ∫ Dxy |∇ξ| 2dσ = |Dxy||ξ| 2 1;Dxy , 式中 |ξ|1;Dxy , sup Dxy √    ∂ξ ∂x     2 (x, y) +     ∂ξ ∂y     2 (x, y) 可作为 C 1 (Dxy; R) 的范数. 综上, 可确定临界点为极小值点. 3.2 连续介质力学中的应用 本节涉及的弹性力学有限变形理论中总势能驻值原理, 总余能驻值原理的背景源于郭仲衡著 《非线性弹性理论》. 按2所述变分的一般计算理论, 计算总势能, 总余能泛函的变分; 并建立数学 中一般方法与力学中实际采用方法之间的关系. 事例 4 (弹性力学有限变形理论中总势能驻值原理). 考虑泛函 A (u) = ∫ ◦ V Σ(E)dτ − ∫ ◦ V u · ( ◦ ρf)dτ − ∫ ∂ ◦ V t u · ◦ T N dσ 的驻值, 式中 Σ(E) 为总势能密度, E 为 Almansi 应变张量, u 为位移场, ∂ ◦ V t 为全部边界 ∂ ◦ V 中满足应力边界条件的部分. 计算一阶变分 dA du (u)(ξ) = ∫ ◦ V ∂Σ ∂Epq (E) dEpq d ◦ iuj ◦ iξjdτ − ∫ ◦ V ∂ui ∂uj ( ◦ ρf)iξjdτ − ∫ ∂ ◦ V t ∂ui ∂uj ◦ T N,iξjdσ = ∫ ◦ V Tpq ∂Epq ∂ ◦ iuj ◦ iξjdτ − ∫ ◦ V ( ◦ ρf) · ξdτ − ∫ ∂ ◦ V t ◦ T N · ξdσ. 由 Epq = 1 2 [ ◦ puq + ◦ qup + ( ◦ puk)( ◦ quk) ] , 则有 ∫ ◦ V Tpq ∂Epq ∂ ◦ iuj ◦ iξjdτ = ∫ ◦ V Tpq 1 2 ( δpiδqj + δqiδpj + δpiδkj ◦ quk + δqiδkj ◦ puk ) ◦ iξjdτ = ∫ ◦ V ( Tij + 1 2 Tiq ◦ quj + 1 2 Tpi ◦ puj ) ◦ iξjdτ = ∫ ◦ V ( Tij + Tik ◦ kuj ) ◦ iξjdτ = ∫ ◦ V Tik ( δkj + ◦ kuj ) ◦ iξjdτ = ∫ ◦ V (TikFjk) ◦ iξjdτ = ∫ ◦ V (TjkTki) ◦ iξjdτ = ∫ ◦ V (F · T )ji ◦ iξjdτ = ∫ ◦ V [ ◦ i((F · T )jiξj ) − ◦ i((F · T )ji)ξj ] dτ 8